Комбинаторика, Вероятности

[ElenaMila]

Книга от 120 страници съдържа 6 фигури. Всяка фигура може да се намиран на всяка едно от страниците с една и съща вероятност. Да се пресметне вероятността, случайно избрана страница да съдържа поне 3 фигури.
Може ли малко помощ със следната задача? Благодаря предварително

[peyo]

Книга от 120 страници съдържа 6 фигури. Всяка фигура може да се намиран на всяка едно от страниците с една и съща вероятност. Да се пресметне вероятността, случайно избрана страница да съдържа поне 3 фигури.
Може ли малко помощ със следната задача? Благодаря предварително

Хм...

Избираме една страница. Вероятността първата фугура да е на нея е 6/120 , вероятността и втората да е тук е (6/120)*(5/120), и третата става (6/120)*(5/120)*(4/120). Останалите не ни интересуват. Отговора изглежда да е:
(6/120)*(5/120)*(4/120) = 6.944444444444444e-05

Но ние имаме 6 позиции на които да разположим тези 3 фигури. Това можем да направим по 6*5*4/3! начина. Тогава крайния отговор става:
$\frac{6}{120} \frac{5}{120}\frac{4}{120}\frac{6*5*4}{3!} = 0.001388888888888889$

Дали това е верния отговор? Може би. Като всяка задача свързана с вероятности, може да грешим и ако искаме да сме по-сигурни то трябва да направим симулация.

[pal702004]

Избираме си страница. След това шестте картинки също си "избират страница". За всяка вероятността да избере "нашата" е $\dfrac{1}{120}$ и друга - $\dfrac{119}{120}$

Това е класическо разпределение на Бернули, търсената вероятност е

$P=\sum_{k=3}^6 C_6^k \cdot \left(\dfrac{1}{120}\right)^k \cdot \left(\dfrac{119}{120}\right)^{6-k}$

$P=\dfrac{20\cdot 119^3+15\cdot 119^2+6\cdot 119+1}{120^6}$

[peyo]

Избираме си страница. След това шестте картинки също си "избират страница". За всяка вероятността да избере "нашата" е $\dfrac{1}{120}$ и друга - $\dfrac{119}{120}$

Това е класическо разпределение на Бернули, търсената вероятност е

$P=\sum_{k=3}^6 C_6^k \cdot \left(\dfrac{1}{120}\right)^k \cdot \left(\dfrac{119}{120}\right)^{6-k}$

$P=\dfrac{20\cdot 119^3+15\cdot 119^2+6\cdot 119+1}{120^6}$

Да видим:

In [428]: (20*119**3+15*119**2+6*119+1)/(120**6)
Out[428]: 1.1358503595464678e-05

Около 100 пъти по малко от моята стойност 0.001388888888888889.

Да видим симулацията какво ще даде:

Код: Избери целия код

import numba
import random

@jit
def fr():
   N = 100000000
   n = 0
   for i in range(N):
      dx={}
      for s in range(6):
         stran=random.randint(1,120)
         if stran not in dx:
            dx[stran]=0
         dx[stran]+=1
      for k in dx:
         if dx[k]>=3:
            n+=1
            break
   print(n,N,n/N)

In [427]: time(fr())
136390 100000000 0.0013639
Wall time: 1min 50s

Симулацията казва, че моят резултат е много по-близък. Нещо сигурно не е наред с Бернули формулата.

[peyo]

Избираме си страница. След това шестте картинки също си "избират страница". За всяка вероятността да избере "нашата" е $\dfrac{1}{120}$ и друга - $\dfrac{119}{120}$

Това е класическо разпределение на Бернули, търсената вероятност е

$P=\sum_{k=3}^6 C_6^k \cdot \left(\dfrac{1}{120}\right)^k \cdot \left(\dfrac{119}{120}\right)^{6-k}$

$P=\dfrac{20\cdot 119^3+15\cdot 119^2+6\cdot 119+1}{120^6}$

Да видим:

In [428]: (20*119**3+15*119**2+6*119+1)/(120**6)
Out[428]: 1.1358503595464678e-05

Около 100 пъти по малко от моята стойност 0.001388888888888889.

Да видим симулацията какво ще даде:

Код: Избери целия код

import numba
import random

@jit
def fr():
   N = 100000000
   n = 0
   for i in range(N):
      dx={}
      for s in range(6):
         stran=random.randint(1,120)
         if stran not in dx:
            dx[stran]=0
         dx[stran]+=1
      for k in dx:
         if dx[k]>=3:
            n+=1
            break
   print(n,N,n/N)

In [427]: time(fr())
136390 100000000 0.0013639
Wall time: 1min 50s

Симулацията казва, че моят резултат е много по-близък. Нещо сигурно не е наред с Бернули формулата.

Ok, разбрах защо има такова голямо разминаване. Моята симулация решава друга задача, а именно да съществува поне една страница с поне 3 фигури, докато оригиналната задача търси вероятността да уцелим страница с поне 3 фигури. Да променим симулацията да реши правилната задача:

Код: Избери целия код

import numba
import random

@jit
def fr():
   N = 100000000
   n = 0
   for i in range(N):
      dx={}
      for s in range(6):
         stran=random.randint(1,120)
         if stran not in dx:
            dx[stran]=0
         dx[stran]+=1
      k=random.randint(1,120)
      if k in dx and dx[k]>=3:
         n+=1
   print(n,N,n/N)

In [442]: time(fr())
1151 100000000 1.151e-05
Wall time: 1min 27s

Ок, много добре! 1.151e-05 е много близко до 1.1358503595464678e-05, което мисля ни убеждава, че Бернули отговора е верния.