Най-голямо лице на трапец

[S.B.]

В окръжност с диаметър $AB= 2R$ е вписан трапец $ABCD , (AB||CD)$.Да се намери ъгълът между диагоналите,при който лицето на трапеца е най - голямо.

[Гост]

maxsin.PNG (37.88 KiB) Прегледано 681 пъти

[Гост]

май не е случайно, че питат за вписан трапец...некой може да докаже, че от всички трапеци с дадени страни най-голямо лице има вписаният?

[S.B.]

Без заглавие - 2021-08-10T105210.957.png (222.9 KiB) Прегледано 618 пъти

Благодаря на колегата Гост за вниманието!
Ще представя моето виждане за решение на задачата.За да бъде по-различно,ще определя ъгъла между диагоналите по друг начин,въпреки,че начинът по който колегата го е определил е перфектен!
Нека [tex]\angle AOB = \alpha , \angle ABO = \gamma , \angle OBC = \beta ,AC = BD = d[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \alpha = \frac{ d^{2} }{2}.\sin \alpha[/tex]
От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{AB} = \sin \angle ABC \Leftrightarrow \frac{d}{2R} = \sin \angle ABC[/tex]
[tex]\angle ABC = \angle OBC + \angle ABO \Rightarrow \angle ABC = \beta + \gamma[/tex]
[tex]\angle \alpha = \beta + 90 ^\circ[/tex] (Като външен ъгъл за [tex]\triangle OBC) \Rightarrow \beta = \alpha - 90 ^\circ[/tex]
От [tex]\triangle AOB \rightarrow \gamma = \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} = 90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}[/tex]

От [tex]\begin{cases} \beta = \alpha - 90 ^\circ \\ \gamma = 90 ^\circ - \displaystyle \frac{ \alpha }{2} \\ \angle ABC = \beta + \gamma \end{cases} \Rightarrow \angle ABC = \displaystyle \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\angle ABC < \frac{ \pi }{2} \Rightarrow \frac{ \alpha }{2} < \frac{ \pi }{2} \Rightarrow \alpha < \pi[/tex]
От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{AB} = \sin \angle ABC \Leftrightarrow \frac{d}{2R} = \sin \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow d = 2R.\sin \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{ d^{2} }{2}\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ABCD } = 2 R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} .\sin \alpha[/tex]
[tex]S( \alpha) = 2 R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}\sin \alpha , \alpha \in (0 ; \pi )[/tex]
[tex]S'( \alpha ) = 2 R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}(4 \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} - 1)[/tex]
[tex]S'( \alpha) = 0 \Rightarrow \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \pi }{3} , \frac{2 \pi }{3} \Rightarrow \alpha _{1,2 } = \frac{2 \pi }{3} , \frac{4 \pi }{3}[/tex]
От [tex]\alpha \in (0 , \pi ) \rightarrow \alpha = \frac{2 \pi }{3} \Rightarrow[/tex] за [tex]\alpha = \frac{2 \pi }{3}[/tex] съществува екстремум

[tex]S''( \alpha) = R^{2}\sin \alpha (4 \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} - 1) - 4 R^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2}\sin \alpha[/tex]
[tex]S''( \frac{2 \pi }{3}) = R^{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}(4. \frac{1}{4}- 1) - 4 R^{2}. \frac{3}{4}. \frac{ \sqrt{3} }{2} = - \frac{3 \sqrt{3} }{2} R^{2} < 0 \Rightarrow[/tex] за [tex]\alpha = \frac{2 \pi }{3}[/tex] функцията [tex]S( \alpha)[/tex] притежава максимум
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]\alpha = \frac{2 \pi }{3}[/tex] лицето [tex]S_{ABCD }[/tex] е максимално