Два срещуположни ръба...

[S.B.]

Да се изрази разстоянието $d$ между два срещуположни ръба на правилна триъгълна пирамида чрез обема ѝ $V$,дължината $l$ на околния ръб и дължината $a$ на основния ръб.

[Гост]

Да се изрази разстоянието $d$ между два срещуположни ръба на правилна триъгълна пирамида чрез обема ѝ $V$,дължината $l$ на околния ръб и дължината $a$ на основния ръб.

S.B. Не спирай да даваш такива интересни задачи. Благодаря за това!

Коментар:
"Моята дъщеря е кандидат-студент и ще ѝ дам тази задача да видя как ще се справи."

[nikola.topalov]

Разглеждаме правилната триъгълна пирамида [tex]ABCM[/tex] с основа [tex]\triangle ABC[/tex]. Нека [tex]N\in AB:CN\perp AB[/tex]. Построяваме [tex]NP\perp MC[/tex] ([tex]P\in MC[/tex]) и понеже [tex]CN[/tex] е проекцията на [tex]PN[/tex], то [tex]PN\perp AB[/tex] по теоремата за трите перпендикуляра. И така оста-отсечка между кръстосаните прави [tex]AB[/tex] и [tex]CM[/tex] е [tex]NP[/tex]. За височината [tex]MO[/tex] на пирамидата имаме [tex]\dfrac{\sqrt{3}a^2}{12}MO=V[/tex] или [tex]MO=\dfrac{12V}{\sqrt{3}a^2}[/tex]. Понеже [tex]CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}[/tex], то с метода на лицата получаваме [tex]\dfrac{12V}{\sqrt{3}a^2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=dl[/tex], откъдето и [tex]d=\dfrac{6V}{al}[/tex].

[S.B.]

Да се изрази разстоянието $d$ между два срещуположни ръба на правилна триъгълна пирамида чрез обема ѝ $V$,дължината $l$ на околния ръб и дължината $a$ на основния ръб.

Без заглавие - 2021-08-17T210114.473.png (221.57 KiB) Прегледано 563 пъти

Ето и моето решение:
$CM$ е медиана,ъглополовяща и височина в равностранния [tex]\triangle ABC[/tex]
$CM$ е проекция на $DC$ в равнината $(ABC)$ ,[tex]CM \bot AB \Rightarrow CD \bot AB \Leftrightarrow l \bot a \Rightarrow \angle (a,l) = 90 ^\circ[/tex]
Ще използвам формулата за обем на произволен тетраедер:
$$V = \frac{1}{6}.a.l.d.\sin \angle(a,l) $$
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{6}.a.l.d.\sin \angle (a,l) \Leftrightarrow V_{ABCD } = \frac{1}{6} a.l.d.\sin90 ^\circ \Leftrightarrow V_{ABCD } = \frac{1}{6} ald \Rightarrow[/tex]
$$d = \frac{6V}{al} $$