Показателно параметрично уравнение

[S.B.]

Дадено е уравнението:
$$4^{x} - 2 a^{2}(a - 1). 2^{x - 1} - a^{3} = 0 $$
За кои стойности на реалния параметър $a$ то има два корена с различни знаци?

[Гост]

След полагане [tex]2^{x} = t > 0[/tex], се достига до уравнението [tex]f(t) = t^{2} - a^{2}(a-1)t - a^{3} = 0[/tex]. Тогава условието за "два корена с различни знаци" става еквивалентно на условието "два положителни корена, за които [tex]t_{1 } < 1 < t_{2 }[/tex] (понеже [tex]x < 0 \Leftrightarrow 0 < 2^{x } < 1[/tex] и [tex]x > 0 \Leftrightarrow 2^{x } > 1[/tex]), т.е. трябва [tex]0 < t_{1 } < 1 < t_{2 }[/tex].

Използвайки известните формули за разпределение на корените на квадратни уравнения, получаваме, че трябва [tex]\begin{array}{|l} f(1) < 0 \\ f(0) > 0 \end{array}[/tex], като решението на първото неравенство е [tex]a > 1[/tex], а на второто е [tex]a < 0[/tex], НО е невъзможно едновременно [tex]а[/tex] да е отрицателно и по-голямо от 1, следователно не съществуват стойности на [tex]а[/tex], удовлетворяващи условието, т.е. [tex]a \in \emptyset[/tex].

Отговорът не е такъв, какъвто очаквах, така че ако някъде в разсъжденията или сметките ми има грешка, моля да ме поправите.

[Гост]

Разбира се, и дискриминантата на f(t) трябва да е положителна, т.е. [tex]a \in (- \infty ; -1) \cup (0; + \infty )[/tex], но след като горното няма общи решения, то сечението на всичко с дискриминантата пак няма да има решение.

[S.B.]

Отговорът е:
[tex]a \in (- \infty , -1)[/tex]

[nick]

Имам решение. Засега няма да го пускам, а ще изчакам по-малките математици да я решат .

[Гост]

Интересен отговор - взех например стойност a = -2, който е от интервала -безкрайност до -1 и получих, че първоначалното уравнение няма реални корени, което е в противоречие с условието два реални корена с различни знаци. Сигурни ли си сте, че условието на задачата е преписано правилно?

[S.B.]

Интересен отговор - взех например стойност a = -2, който е от интервала -безкрайност до -1 и получих, че първоначалното уравнение няма реални корени, което е в противоречие с условието два реални корена с различни знаци. Сигурни ли си сте, че условието на задачата е преписано правилно?

И условието е правилно преписано и даденият отговор.Аз също срещнах проблем и за това я постнах.Убеждавам се ,че проблема е в "печатницата".Ще се опитам по отговора да стигна до правилното условие,но това не е толкова лесно...

[Гост]

Поне разбрах, че няма грешка в разсъжданията ми. До дадения отговор [tex]a \in (- \infty ; -1)[/tex] се достига, ако условието на задачата е:
[tex]4^{x } + 2a^{2 }(a - 1).2^{x - 1} - a^{3 } = 0[/tex], т.е. когато знакът след 4^{x } е ПЛЮС, а не минус. Тогава след полагането се получава уравнението
[tex]f(t) = t^{2 } + a^{2 }(a - 1)t - a^{3 } = 0.[/tex]
Резултатът от неравенството за дискриминантата не се променя, т.е. си води до същия отговор [tex]a \in \in (- \infty ; -1) \cup (0; + \infty )[/tex], [tex]f(0) > 0[/tex] също води до същия резултат [tex]a < 0[/tex], НО неравенството [tex]f(1) < 0[/tex] вече има решение [tex]a \in \in (- \infty ; -1) \cup (1; + \infty )[/tex]. И като се вземе сечението на трите, се стига до окончателния отговор [tex]a \in (- \infty ; -1)[/tex]. Не съм разписал подробно решението, но вече като знаем правилното условие, който иска може да го направи.

[S.B.]

Поне разбрах, че няма грешка в разсъжданията ми. До дадения отговор [tex]a \in (- \infty ; -1)[/tex] се достига, ако условието на задачата е:
[tex]4^{x } + 2a^{2 }(a - 1).2^{x - 1} - a^{3 } = 0[/tex], т.е. когато знакът след 4^{x } е ПЛЮС, а не минус. Тогава след полагането се получава уравнението
[tex]f(t) = t^{2 } + a^{2 }(a - 1)t - a^{3 } = 0.[/tex]
Резултатът от неравенството за дискриминантата не се променя, т.е. си води до същия отговор [tex]a \in \in (- \infty ; -1) \cup (0; + \infty )[/tex], [tex]f(0) > 0[/tex] също води до същия резултат [tex]a < 0[/tex], НО неравенството [tex]f(1) < 0[/tex] вече има решение [tex]a \in \in (- \infty ; -1) \cup (1; + \infty )[/tex]. И като се вземе сечението на трите, се стига до окончателния отговор [tex]a \in (- \infty ; -1)[/tex]. Не съм разписал подробно решението, но вече като знаем правилното условие, който иска може да го направи.

Да,така е!Аз стигнах до същия резултат:
От [tex]\begin{cases} 2^{x}= t>0 \\0< t_{1 } < 1< t_{2 } \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} f(0) >0 \\ f(1)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} - a^{3}>0 \\ 1 - a^{2}(a - 1) - a^{3}< 0 \end{array}[/tex]
Явно тук второто неравенство е [tex]1 + a^{2}(a- 1) - a^{3} < 0[/tex]
за да може да се получи[tex]\begin{array}{|l} a<0 \\ (1 - a)(1 + a)< 0 \end{array}[/tex] от където да следва отговора [tex]a \in(- \infty, -1)[/tex]
Явно в условието има печатна грешка и след [tex]4^{x}[/tex] знакът "+" е заменен с "-"