Меню
В равностранен триъгълник с лице S са нанесени по страните ВА и ВС съответно отсечки ВМ=BP=[tex]\frac{1}{3}[/tex]BA .
Точките М и Р са съединени с противоположните върхове С и А и получените отсечки се пресичат в
т.D . Да се намери лицето на четириъгълника MBPD .
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
Лице на четириъгълник
7 мнения
• Страница 1 от 1
Re: Лице на четириъгълник
от ammornil » 03 Окт 2021, 20:36
Нека [tex]AB=BC=AC=3x[/tex], тогава [tex]AM=CP=2x, BM=BP=x[/tex]
Лицето на равностранен триъгълник е [tex]S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3\sqrt{3}S}}{3} \Rightarrow x=\frac{1}{3}a=\frac{2\sqrt{3\sqrt{3}S}}{9}[/tex]
[tex]x^{2}=\frac{12\sqrt{3}S}{81}=\frac{4\sqrt{3}S}{27}[/tex](Това ще ни трябва да заместим в крайния резултат за лицето на търсения четириъгълник)
[tex]\triangle BMP \begin{cases} BP=BM \\ \angle MBP=60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \triangle BMP[/tex]-равностранен [tex]\Rightarrow \begin{cases} MB=PB=PM=x \\ \angle MBP= \angle BPM = \angle PMB = 60 ^\circ \end{cases}[/tex].
[tex]\angle ACB = \angle MPB =60 ^\circ \Rightarrow AC || MP[/tex] (следствие от това, че имаме две прави пресечени с трета имат рави кръстни ъгли) [tex]\Rightarrow AMPC[/tex]- трапец.
[tex]AM=CP \Rightarrow[/tex] равнобедрен трапец.
Построяваме [tex]PP_{1} \bot AC \Rightarrow \frac{PP_{1}}{PC}=sin \angle P_{1}CP \Rightarrow PP_{1}=PC.sin60 ^\circ =2x\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}x[/tex]- височина на трапеца, за сега няма да заместваме стоността на х, но тя е известна, следователно и височината на трапца е известна.
През точка D построяваме права перпендикулярна на основите. [tex]DD_{1} \bot AC, DD_{2} \bot MP[/tex]. Тези отсечки заедно образуват височина на трапеца ACPM, а всяка от тях е височина в един от защрихованите триъгълници.
[tex]\triangle ADC \sim \triangle MDP[/tex]- по три ъгъла [tex]\Rightarrow \frac{DD_{1}}{DD_{2}}=\frac{AC^2}{MP^2}=\frac{9x^2}{x^{2}}=\frac{9}{1} \Rightarrow DD_{2}=\frac{1}{10}.h_{_{тр}}=\frac{\sqrt{3}x}{10}[/tex]
[tex]S_{MBPD}=S_{MBP}+S_{MPD}=\frac{MB^{2}.\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}MP.DD_{2}=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}.x.\frac{\sqrt{3}x}{10}=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}.\left(1+\frac{1}{5} \right)=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}.\frac{6}{5}=\frac{3\sqrt{3}}{10}x^{2}[/tex]
Заместваме [tex]x^{2}[/tex] и получаваме [tex]S_{MBPD}=\frac{3\sqrt{3}}{10}x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{10}.\frac{4\sqrt{3}S}{27}=\frac{2^{2}.3^{2}}{2.5.3^{3}}.S=\frac{2}{15}.S[/tex]
Това е начина, за който се сетих аз, провери сметките за всеки случай.
[tex][/tex]
Лицето на равностранен триъгълник е [tex]S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3\sqrt{3}S}}{3} \Rightarrow x=\frac{1}{3}a=\frac{2\sqrt{3\sqrt{3}S}}{9}[/tex]
[tex]x^{2}=\frac{12\sqrt{3}S}{81}=\frac{4\sqrt{3}S}{27}[/tex](Това ще ни трябва да заместим в крайния резултат за лицето на търсения четириъгълник)
[tex]\triangle BMP \begin{cases} BP=BM \\ \angle MBP=60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \triangle BMP[/tex]-равностранен [tex]\Rightarrow \begin{cases} MB=PB=PM=x \\ \angle MBP= \angle BPM = \angle PMB = 60 ^\circ \end{cases}[/tex].
[tex]\angle ACB = \angle MPB =60 ^\circ \Rightarrow AC || MP[/tex] (следствие от това, че имаме две прави пресечени с трета имат рави кръстни ъгли) [tex]\Rightarrow AMPC[/tex]- трапец.
[tex]AM=CP \Rightarrow[/tex] равнобедрен трапец.
Построяваме [tex]PP_{1} \bot AC \Rightarrow \frac{PP_{1}}{PC}=sin \angle P_{1}CP \Rightarrow PP_{1}=PC.sin60 ^\circ =2x\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}x[/tex]- височина на трапеца, за сега няма да заместваме стоността на х, но тя е известна, следователно и височината на трапца е известна.
През точка D построяваме права перпендикулярна на основите. [tex]DD_{1} \bot AC, DD_{2} \bot MP[/tex]. Тези отсечки заедно образуват височина на трапеца ACPM, а всяка от тях е височина в един от защрихованите триъгълници.
[tex]\triangle ADC \sim \triangle MDP[/tex]- по три ъгъла [tex]\Rightarrow \frac{DD_{1}}{DD_{2}}=\frac{AC^2}{MP^2}=\frac{9x^2}{x^{2}}=\frac{9}{1} \Rightarrow DD_{2}=\frac{1}{10}.h_{_{тр}}=\frac{\sqrt{3}x}{10}[/tex]
[tex]S_{MBPD}=S_{MBP}+S_{MPD}=\frac{MB^{2}.\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}MP.DD_{2}=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}.x.\frac{\sqrt{3}x}{10}=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}.\left(1+\frac{1}{5} \right)=\frac{x^2.\sqrt{3}}{4}.\frac{6}{5}=\frac{3\sqrt{3}}{10}x^{2}[/tex]
Заместваме [tex]x^{2}[/tex] и получаваме [tex]S_{MBPD}=\frac{3\sqrt{3}}{10}x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{10}.\frac{4\sqrt{3}S}{27}=\frac{2^{2}.3^{2}}{2.5.3^{3}}.S=\frac{2}{15}.S[/tex]
Това е начина, за който се сетих аз, провери сметките за всеки случай.
[tex][/tex]
- Прикачени файлове
-
- 211003_002.png (29.46 KiB) Прегледано 1665 пъти
[tex]\color{lightseagreen}\text{''Който никога не е правил грешка, никога не е опитвал нещо ново.''} \\
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
-
ammornil - Математик
- Мнения: 3768
- Регистриран на: 25 Май 2010, 19:28
- Местоположение: Великобритания
- Рейтинг: 1780
Re: Лице на четириъгълник
от Евва » 04 Окт 2021, 04:58
Отговор : [tex]\frac{S}{6}[/tex]
Ще чакам по-опростено решение .
Ще чакам по-опростено решение .
Re: Лице на четириъгълник
от Nathi123 » 04 Окт 2021, 12:57
BP=BM=[tex]\frac{1}{3}.BA \Rightarrow PM||AC[/tex] (Т обратна на Т на Талес). Построяваме СН[tex]\bot AB \Rightarrow \frac{S _{ \triangle MBC } }{S _{ \triangle ABC} }= \frac{CH.MB}{CH.AB} = \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow S _{ \triangle CMB } = \frac{S}{3}[/tex].Нека AP[tex]\cap CM=P ; \triangle MPD \approx \triangle ADC \Rightarrow \frac{CD}{DM}= \frac{AC}{MP}=3:1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{CD}{CM}= \frac{3}{4}[/tex]. Построяваме DH[tex]\bot BC; MH _{1 } \bot BC \Rightarrow DH||MH _{1 } \Rightarrow \frac{DH}{MH _{1 } }= \frac{CD}{CM}= \frac{3}{4}[/tex] ( Т на Талес).
[tex]\frac{S _{ \triangle DPC} }{S _{ \triangle CMB} }= \frac{CP.DH}{BC.MH _{1 } }= \frac{2}{3}. \frac{3}{4}= \frac{1}{2} \Rightarrow S _{ \triangle DPC}= \frac{S}{6}[/tex].
S[tex]_{MBPD }=S _{ \triangle MBC} - S _{ \triangle DPC }= \frac{S}{3}- \frac{S}{6} = \frac{S}{6}[/tex].
[tex]\Rightarrow S _{ \triangle CMB } = \frac{S}{3}[/tex].Нека AP[tex]\cap CM=P ; \triangle MPD \approx \triangle ADC \Rightarrow \frac{CD}{DM}= \frac{AC}{MP}=3:1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{CD}{CM}= \frac{3}{4}[/tex]. Построяваме DH[tex]\bot BC; MH _{1 } \bot BC \Rightarrow DH||MH _{1 } \Rightarrow \frac{DH}{MH _{1 } }= \frac{CD}{CM}= \frac{3}{4}[/tex] ( Т на Талес).
[tex]\frac{S _{ \triangle DPC} }{S _{ \triangle CMB} }= \frac{CP.DH}{BC.MH _{1 } }= \frac{2}{3}. \frac{3}{4}= \frac{1}{2} \Rightarrow S _{ \triangle DPC}= \frac{S}{6}[/tex].
S[tex]_{MBPD }=S _{ \triangle MBC} - S _{ \triangle DPC }= \frac{S}{3}- \frac{S}{6} = \frac{S}{6}[/tex].
Re: Лице на четириъгълник
от nikola.topalov » 04 Окт 2021, 23:25
Нека [tex]BD\cap AC=N[/tex] и [tex]NQ\parallel AP[/tex] ([tex]Q\in BC[/tex]). Понеже [tex]N[/tex] е средата на [tex]AC[/tex], то [tex]Q[/tex] е средата на [tex]CP[/tex]. Оттук излиза, че [tex]PD[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle NBQ[/tex] и значи [tex]ND=DB[/tex]. Ако страната на [tex]\triangle ABC[/tex] означим с [tex]3x[/tex], то [tex]PB=x[/tex], а оттук и [tex]MP=x[/tex]. Височината [tex]BN[/tex] пресмятаме [tex]BN=\dfrac{3\sqrt{3}x}{2}[/tex] и следователно [tex]BD=\dfrac{3\sqrt{3}x}{4}[/tex]. Имаме [tex]S_{ABC}=\dfrac{9\sqrt{3}x^2}{4}[/tex] [tex](1)[/tex] и [tex]S_{MBPD}=\dfrac{1}{2}×MP×BD=\dfrac{3\sqrt{3}x^2}{8}[/tex] [tex](2)[/tex]. От [tex](1)[/tex] имаме [tex]\dfrac{4S_{ABC}}{9}=\sqrt{3}x^2[/tex] и след заместване в [tex](2)[/tex] получаваме [tex]S_{MBPD}=\dfrac{1}{6}S_{ABC}[/tex].
Затворник във ФМИ
- nikola.topalov
- Напреднал
- Мнения: 377
- Регистриран на: 12 Авг 2021, 02:18
- Рейтинг: 521
Re: Лице на четириъгълник
от Евва » 05 Окт 2021, 06:14
Скрит текст: покажи
Нека точките E и Q са среди съотв. на отсечките AM и CP .
По няколко начина можем да докажем че MD=PD .
[tex]\triangle[/tex]MBD[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DBP ( 3 признак ) ,значи [tex]S_{MBD }[/tex]=[tex]S_{DBP }[/tex] и да ги означим с [tex]S_{1 }[/tex]
[tex]S_{AED }[/tex]=[tex]S_{EMD }[/tex]=[tex]S_{MBD }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex] ( защото DE и DM са медиани в [tex]\triangle[/tex]AMD и в [tex]\triangle[/tex]EBD )
[tex]S_{ABP }[/tex]=[tex]S_{1 } +S_{1 } +S_{1}+S_{1}[/tex]=4[tex]S_{1 }[/tex]
Скрит текст: покажи
[tex]S_{ABP } =S_{APQ }=S_{AQC}[/tex] ( защото AP и AQ са медиани в [tex]\triangle[/tex]ABQ и в [tex]\triangle[/tex]APC )[tex]S_{ABC }[/tex]=3[tex]S_{ABP }[/tex]=3.4[tex]S_{1 }[/tex]=12[tex]S_{1 }[/tex]
Знаем ,че [tex]S_{MBPD }[/tex]=2[tex]S_{1 }[/tex] и [tex]S_{ABC }[/tex]=12[tex]S_{1 }[/tex] .
[tex]S_{MBPD }[/tex]=2[tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1}{6}[/tex].12[tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ S }{6}[/tex]
Re: Лице на четириъгълник
от Гост » 26 Яну 2022, 02:26
Последно избутване Anonymous от 26 Яну 2022, 02:26
- Гост
7 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google [Bot]