Задача от Технически университет 2016

[Гост]

Може ли някой да реши Зад. 10 от изпита в Технически университет - 2.04. 2016 г.
Условието е:
Най-малката стойност на функцията f (x) = 3cos x - 4sin x + 1 в затворения интервал [0; пи/2]
Отговорът трябва да е – 3

[S.B.]

Може ли някой да реши Зад. 10 от изпита в Технически университет - 2.04. 2016 г.
Условието е:
Най-малката стойност на функцията f (x) = 3cos x - 4sin x + 1 в затворения интервал [0; пи/2]
Отговорът трябва да е – 3

[tex]f(x) = 3 \cos x - 4 \sin x[/tex]
[tex]f'(x) = - 3\sin x - 4\cos x[/tex]
[tex]f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow - 3\sin x - 4\cos x \ge 0[/tex] (****)
Ще използвам универсалните формули :
$$\sin x = \displaystyle\frac{2\tg\displaystyle \frac{x}{2} }{1 + tg^{2 }\displaystyle \frac{x}{2} } ; \cos x = \displaystyle \frac{1 - tg^{2 }\displaystyle \frac{x}{2} }{1 + \tg^{2 }\displaystyle \frac{x}{2} }$$
Полагам [tex]\tg \frac{x}{2} = t[/tex] и ще определя Д.М. за $t$
[tex]x \in [0 ; \frac{ \pi }{2}] \Rightarrow \frac{x}{2} \in [0: \frac{ \pi }{4}] \Rightarrow \tg \frac{x}{2} \in [0 ; 1],\tg \frac{x}{2} = t \Rightarrow[/tex] Д.М. за $t$ e:
$$t \in [0;1]$$
След заместване в (****) получавам:
[tex]- 3\frac{2t}{ t^{2 } + 1} - 4 \frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2 t^{2 } - 3t -2}{ t^{2 } + 1 } \ge 0[/tex]

[tex]t^{2 } + 1 > 0[/tex] за [tex]\forall t \Rightarrow 2 t^{2 } - 3t -2 \ge 0[/tex]
[tex]D = 25 , t_{1,2 } = \frac{3 \pm 5}{4} , t_{1 } = 2, t_{2 } = - \frac{1}{2}[/tex]
[tex]2 t^{2 } -3t -2 \ge 0 \Leftrightarrow 2(t - 2)(t + \frac{1}{2}) \ge 0[/tex]
За [tex]t \in (- \infty ; -\frac{1}{2})[/tex] функцията расте и за [tex]t = - \frac{1}{2}[/tex] достига абсолютен максимум
За [tex]t \in ( - \frac{1}{2} ; 2)[/tex] функцията намалява и за $t= 2$ достига своя минимум
Но от Д.М. на $t$ знаем ,че [tex]t \in [ 0 ; 1][/tex] т.е. Д.М.[tex]\in (- \frac{1}{2} ; 2)[/tex] - там където функцията намалява и върви към своя минимум
Тогава [tex]f(0) > f(1) \Rightarrow[/tex] най малката стойност в този интервал е за $t = 1$ т.е. [tex]f(1)[/tex]
[tex]f(x) = 3\cos x - 4\sin x + 1 \Leftrightarrow f(t) = 3 \frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } - 4 \frac{2t}{1 + t^{2 } } + 1[/tex]
[tex]f(1) = 3 \frac{1 - 1}{1 + 1} - 4 \frac{2.1}{1 + 1} + 1 = -4 + 1 = -3[/tex]