На вниманието на кандидатстудентите

[S.B.]

Даен е [tex]\triangle ABC[/tex] със страни: $AC = 5,BC = 10 ,AB = 13$ Медианата $AM$ пресича вписаната в триъгълника окръжност в точки $K$ и $L$.Определете дължината на отсечката $KL$.

[Nathi123]

Нека к(О,r) - вписана в [tex]\triangle ABC ; k \cap AC=Q;k \cap BC=P; CM=MB=5 ; CQ=CP=p=1 \Rightarrow AQ=PM=4; AC=CM=5[/tex]
[tex]\Rightarrow CO \bot AM; KL=x ML=y ; AM \cap CO=P \Rightarrow KP=PL= \frac{x}{2} ;AK=ML=y[/tex].От формулата за дължина на медианата чрез страните на триъг.получаваме,че AM=6[tex]\sqrt{2}[/tex]; от връзка между дължина на секуща и допирателно от точка към окр. получаваме,че
ML.MK=MP[tex]^{2 } \Leftrightarrow 16=y(x+y) ;AM=x+2y=6 \sqrt{2}[/tex]. Решавам получената система и получавам х =KL = 2[tex]\sqrt{2}[/tex].