Параметрично уравнение

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$ ,за всяка от които уравнението:
$$(a - |x - 21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0$$
има точно четири различни решения.

[Nathi123]

( a - |x-21|)([tex]x^{3 }-3x-a)=0 \Leftrightarrow a - |x-21|=0 \cup x^{3 }-3x-a=0 \Leftrightarrow |x-21|=a \cup x^{3 }-3x-a=0[/tex].Ако а<0 ,то първото от двете уравнения няма решение, а второто е уравнение от трета степен и може да има най - много три решения. Значи стойности на a < 0 не са решения на задачата.
Ако а = 0 ,получаваме |x-21|=0[tex]\cup x^{3 } -3x=0 \Leftrightarrow x = 21 \cup x =0 \cup x= \sqrt{3} \cup x= - \sqrt{3}[/tex] Т.е. a =0 е решение на задачата.
При a>0 [tex]\Rightarrow | x -21 | = a \Leftrightarrow x= a + 21 \cup x = 21 - a,[/tex]значи даденото уравнение ще има 4 различни корена,ако [tex]x^{3 }-3x-a=0[/tex]
има два различни корена различни от х = 21 [tex]\pm a[/tex].
Нека f(x)=[tex]x^{3 }-3x -a \Rightarrow f'(x) = 3 x^{2 }-3=3( x^{2 } -1)=0 \Leftrightarrow x = 1 \cup x =-1 .[/tex] Около тези точки f'(x) си сменя знака ,така че
f(-1)=f[tex]_{локален max }=2 - a , f(1)=f _{локален min } = -2-a[/tex].( Екстремумите са локални,защото [tex]\lim_{x \to \pm \infty }f(x)= \pm \infty[/tex]).
Така за да има f(x) = 0 точно два корена ,графиката на тази функция трябва да пресича абцисната ос точно два пъти. Това може да се случи,ако :
а) f[tex]_{локален max }=2 - a =0 и f _{локален min } = -2-a <0 \Leftrightarrow a=2 \Rightarrow -2-2<0;[/tex]. Т.е. при а = 2 получаваме корените x=-1 ; x=23 ;x=19 и четвърти корен,който е по - голям от 1 ; при а =2 [tex]\Rightarrow f(x)= x^{3 }-3x-2=0[/tex] при х =2.
б) [tex]f _{локален min } = -2-a=0;f_{локален max }= 2- a >0 \Leftrightarrow a<2 ;a =-2[/tex]. Този случай не е решение на задачата,защото уравнението с
модула няма решение.Така получихме,че даденото уравнение има точно 4 различни решения за a = 0 [tex]\cup a = 2[/tex].

[vezni]

значи даденото уравнение ще има 4 различни корена,ако [tex]x^{3 }-3x-a=0[/tex]
има два различни корена различни от х = 21 [tex]\pm a[/tex].
Нека f(x)=[tex]x^{3 }-3x -a \Rightarrow f'(x) = 3 x^{2 }-3=3( x^{2 } -1)=0 \Leftrightarrow x = 1 \cup x =-1 .[/tex] Около тези точки f'(x) си сменя знака ,така че
f(-1)=f[tex]_{локален max }=2 - a , f(1)=f _{локален min } = -2-a[/tex].( Екстремумите са локални,защото [tex]\lim_{x \to \pm \infty }f(x)= \pm \infty[/tex]).
Така за да има f(x) = 0 точно два корена ,графиката на тази функция трябва да пресича абцисната ос точно два пъти. Това може да се случи,ако :

Един вариант е кубичното уравнение да има двоен корен. Този вариант е разгледан в твоето решение. Друг вариант е кубичното уравнение да има 3 реални корена и един от тях да е общ за модулното уравнение. Тогава изходното ще има 4 различни решения. Получава се, че този вариант не е възможен, но все пак трябва някаква обосновка.

[Nathi123]

Уравнението от трета степен ще има три корена ако 2- а >0 [tex]\cap -2-a <0 \Leftrightarrow a \in (-2,2)[/tex],но уравнението с модул за да има решение трябва a[tex]\ge 0[/tex]; a= 0 не е такъв случай. При a[tex]\in (0,2)[/tex] , f(1)<0, f(3)>0[tex]\Rightarrow[/tex]единият корен е в интервала (-1,1);вторият е в интервала (1,3);f(-2)<0,значи третият е в интервала (-2,-1).Корените на уравнението с модул х = 21 [tex]\pm a[/tex], за a[tex]\in (0,2)[/tex]няма как да съвпадат с някои от горните 3 решения на кубичното уравнение.

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$ ,за всяка от които уравнението:
$$(a - |x - 21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0$$
има точно четири различни решения.

Задачата е е от кандидатстудентски конкурс за Техническия университет в София проведен на 12 юли 2000 година

Предлагам и моя поглед върху задачата, който се различава от решението на Nathi123 по това,че за да изследвам изменението на параметъра $a$ ,аз го представям като функция на аргумента $x$ във второто уравнение:
[tex](a - |x - 21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0 \Leftrightarrow a - |x - 21| = 0 \cup x^{3 } - 3x - a) = 0[/tex]

[tex]a - |x - 21| = 0 \Leftrightarrow |x - 21| = a[/tex]

1) За $a> 0$
[tex]\pm (x - 21) = a \Rightarrow x_{1 } =a + 21 , x_{2 } = 21 - a[/tex] - има два различни корена

2) За $a = 0$
[tex]x - 21 = 0 \Rightarrow x = 21[/tex] е единствен корен

3) За $a < 0 $ няма решение

[tex]x^{3 } - 3x - a = 0[/tex]
Изразявам параметъра $a$ като функция на $x$:
[tex]a(x) = x^{3 } - 3x[/tex]
Д.М. [tex]x \in (- \infty , + \infty )[/tex]
[tex]\lim_{x \to \pm \infty } (x^{3 } -3x) = \pm \infty[/tex]
[tex]a'(x) = 3 x^{2 } - 3 = 3(x - 1)(x + 1) \ge 0[/tex]
За [tex]x \in (- \infty,-1)[/tex] функцията расте
За $x = - 1$ достига своя максимум ,[tex]a_{max } = 2 >0[/tex]
За [tex]x\in (-1,1)[/tex] функцията намалява
За $x = 1$ достига своя минимум ,[tex]а_{min } = -2 < 0[/tex]
За [tex]x \in (1, + \infty )[/tex] функцията расте
Получи се ,че за $a = 2$ уравнението [tex]x^{3 } - 3x -2 = 0[/tex] има корен $x = -1$, но то има и още един корен $x = 2$,защото [tex]2^{3 } - 3.2 - 2 = 0[/tex]
Тогава корените на първото уравнение са $21-2 = 19$ и $21 + 2 = 23 $
Резултатът е:
За $a$ = 2 има $4$ различни корена : $-1 , 2 , 19,23$
Нека [tex]а(x) = 0 \Leftrightarrow x^{3 } - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3} ) = 0[/tex]
Получи се,че графиката на $a(x) $ пресича в три точки абцисата и за $a = 0$ уравнението има 3 корена - [tex]- \sqrt{3} , 0 , \sqrt{3}[/tex]
За $a = 0$ първото уравнение има единствен корен $x = 21$,който е различен от трите корена на второто уравнение.
Или за $a = 0$ уравнението има $4$ различни корена :[tex]- \sqrt{3},0, \sqrt{3} ,21[/tex]
Отговор:
За [tex]a = 0[/tex] корените на уравнението са [tex]- \sqrt{3} ,0 , \sqrt{3} ,21[/tex]
За $а = 2$ корените на уравнението са $ - 1,2, 19,23 $

Без заглавие - 2021-12-06T123521.874.png (656.82 KiB) Прегледано 516 пъти