СУ КСК 2022, зад. 12, 15, 16 с отговори

[Гост]

Задача 12. В [tex]\triangle ABC[/tex] е дадено [tex]BC = 6 \sqrt{7}[/tex] и [tex]\angle BAC = 60 ^\circ[/tex]. Окръжност минава през върха [tex]A[/tex], допира се до правата [tex]BC[/tex] в точката [tex]C[/tex] и пресича страната [tex]AB[/tex] в точка [tex]D[/tex], като [tex]AD = 4[/tex]. Да се намери дължината на страната [tex]AC[/tex].

Задача 15. В равнобедрения [tex]\triangle ABC (AC = BC), I[/tex] е центърът на вписаната окръжност и [tex]AL (L \in BC)[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex]. Да се намерят страните и лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], ако [tex]AI = 20, IL = 16[/tex].

Задача 16. Четириъгълна пирамида [tex]EABCD[/tex] има за основа квадрат [tex]ABCD[/tex] с диагонал [tex]AC = 4[/tex]. Околният ръб [tex]EA[/tex] e перпендикулярен на равнината на основата и има дължина [tex]5[/tex]. Точката [tex]P[/tex] е от ръба [tex]EA[/tex]. Намерете най-голямата стойност на лицето на сечението на пирамидата с равнината, определена от точките [tex]P, B, C[/tex].

За задачите получавам следните отговори:

Скрит текст: покажи

12: [tex]6; 2[/tex]
15: [tex]40, 40, 10; 75 \sqrt{7}[/tex]
16: [tex]\frac{24 \sqrt{3} }{5}[/tex]

Получавате ли същите отговори на тези задачи?

[Гост]

Пуснаха решенията вече.

[nikola.topalov]

На 12. и 15. аз помня, че други отговори получих.

[Гост]

А някой може ли да разпише задачата да я видя как трябва да се реши?

[Гост]

зад. 12 [tex]\angle[/tex]DCB=[tex]\angle[/tex]BAC[tex]\Rightarrow \triangle[/tex]ABC[tex]\approx \triangle[/tex]CDB.
[tex]\Rightarrow[/tex] AB/BC=BC/BD[tex]\Rightarrow[/tex]AB(AB-4)=252[tex]\Rightarrow[/tex]AB=18
[tex]BC^{2 }[/tex]=[tex]x^{2 }[/tex]+[tex]18^{2 }[/tex]-36xcos60
[tex]x^{2 }[/tex]-18x+72=0
[tex]x_{1 }[/tex]=12
[tex]x_{2 }[/tex]=6