Равносилни уравнения - за кои стойности на параметъра?

[laflame]

Здравейте!Пускам темата, защото имам затруднения с доста задачи от различни изпитни варианти за кандидат-студентски изпити по математика.Преди няколко години ги решавах уж, но с времето съм забравил доста от материала.
Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които уравненията [tex]x^2 - a = 0[/tex] и [tex]x -a = 0[/tex] са равносилни.

[peyo]

Здравейте!Пускам темата, защото имам затруднения с доста задачи от различни изпитни варианти за кандидат-студентски изпити по математика.Преди няколко години ги решавах уж, но с времето съм забравил доста от материала.
Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които уравненията [tex]x^2 - a = 0[/tex] и [tex]x -a = 0[/tex] са равносилни.

За да са равносилни трябва да имат еднакви корени. Първото:
[tex]x^2 = a[/tex]
[tex]x = \pm \sqrt{a}[/tex]

Има два корена при а различно от 0. Но второто не може да има 2 корена а само един, значи а=0.

[laflame]

Грешката е моя.Второто уравнение е корен от х - а = 0

[ammornil]

Здравейте!Пускам темата, защото имам затруднения с доста задачи от различни изпитни варианти за кандидат-студентски изпити по математика.Преди няколко години ги решавах уж, но с времето съм забравил доста от материала.
Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които уравненията [tex]x^2 - a = 0[/tex] и [tex]x -a = 0[/tex] са равносилни.

[tex]\begin{array}{|l}x^{2}-a=0 \\ x -a = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0 \\ x=a \end{array}[/tex]

Понеже първото уравнение има два корена, а второто един, търсим при коя стойност на [tex]a[/tex] първото уравнение има един двоен корен. За целта, дискриминантата на първото уранение трябва да има стойност нула.

[tex]D=0^{2}-4.1.(-a)=4a=0 \Rightarrow a=0[/tex]
----
----

[tex]\begin{array}{|l}x^{2}-a=0 \\ \sqrt{x -a} = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0 \\ |x-a|=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x^{2}-a=0 \\ x -a = 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l}x^{2}-a=0 \\ -x +a = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0 \\ x=a \end{array}[/tex]

Понеже първото уравнение има два корена, а второто един, търсим при коя стойност на [tex]a[/tex] първото уравнение има един двоен корен. За целта, дискриминантата на първото уранение трябва да има стойност нула.

[tex]D=0^{2}-4.1.(-a)=4a=0 \Rightarrow a=0[/tex]

[laflame]

Благодаря!
Това също не мога да го разбера.Не искам решение, ами по-скоро разяснение в каква посока да тръгна.
Да се намери стойността на реалния параметър a, за която сборът от квадратите на корените на уравнението x^2-2ax+2a^2+6a+1 = 0

[laflame]

Благодаря!
Това също не мога да го разбера.Не искам решение, ами по-скоро разяснение в каква посока да тръгна.
Да се намери стойността на реалния параметър a, за която сборът от квадратите на корените на уравнението x^2-2ax+2a^2+6a+1 = 0

Да се намерят ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] на успоредник, ако [tex]\sqrt{3}[/tex](sin[tex]\alpha[/tex] + sin[tex]\beta[/tex]) = 2sin([tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])

[ammornil]

Благодаря!
Това също не мога да го разбера.Не искам решение, ами по-скоро разяснение в каква посока да тръгна.
Да се намери стойността на реалния параметър a, за която сборът от квадратите на корените на уравнението x^2-2ax+2a^2+6a+1 = 0

Да се намерят ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] на успоредник, ако [tex]\sqrt{3}[/tex](sin[tex]\alpha[/tex] + sin[tex]\beta[/tex]) = 2sin([tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])

в успоредника ъглите прилежащи на всяка страна имат сбор [tex]180 ^\circ \Rightarrow \alpha + \beta =180 ^\circ \Rightarrow \begin{cases} \sin{ \beta }=\sin{(180 ^\circ - \alpha)}=\sin{ \alpha } \\ \sin{ (\alpha - \beta)} = \sin{(2\alpha - 180 ^\circ) } = -\sin{(180 ^\circ -2\alpha)}=-\sin{2\alpha}=-2\sin\alpha\cos\alpha\end{cases}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{3}(\sin{\alpha}+\sin{\beta})=2\sin{(\alpha-\beta)} \Leftrightarrow 2\sqrt{3}\sin\alpha = -4\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow ...[/tex]

[ammornil]

Благодаря!
Това също не мога да го разбера.Не искам решение, ами по-скоро разяснение в каква посока да тръгна.
Да се намери стойността на реалния параметър a, за която сборът от квадратите на корените на уравнението x^2-2ax+2a^2+6a+1 = 0

[tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}[/tex]

използвай формули на Виет ...

[laflame]

Окей, втората я разбрах.Лявата част се сетих да я преобразувам до 2[tex]\sqrt{3}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] , но дясната не знам защо не се сетих да представя [tex]\beta[/tex] като 180 - [tex]\alpha[/tex] . Ъглите са 30 и 150 градуса.
Първата обаче продължава да ме мъчи.Формулите на виет ги приложих и получих резултат -12а - 2 .Най-голяма стойност има когато а е най-малко.От там дискриминантата на уравнението > 0, за да има 2 корена и получавам, че а принадлежи от (-3 -2[tex]\sqrt{2}[/tex] до -3+2[tex]\sqrt{2}[/tex] .Отговора на задачата е даден, че е -3-2[tex]\sqrt{2}[/tex]. Проблема ми е, че не знам дали мога да поставя условие D [tex]\ge[/tex] 0.

[ammornil]

Окей, втората я разбрах.Лявата част се сетих да я преобразувам до 2[tex]\sqrt{3}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] , но дясната не знам защо не се сетих да представя [tex]\beta[/tex] като 180 - [tex]\alpha[/tex] . Ъглите са 30 и 150 градуса.
Първата обаче продължава да ме мъчи.Формулите на виет ги приложих и получих резултат -12а - 2 .Най-голяма стойност има когато а е най-малко.От там дискриминантата на уравнението > 0, за да има 2 корена и получавам, че а принадлежи от (-3 -2[tex]\sqrt{2}[/tex] до -3+2[tex]\sqrt{2}[/tex] .Отговора на задачата е даден, че е -3-2[tex]\sqrt{2}[/tex]. Проблема ми е, че не знам дали мога да поставя условие D [tex]\ge[/tex] 0.

Никъде не се казва, че корените на уравнението трябва да са различни.

Screenshot 2022-05-05 193253.png (83.59 KiB) Прегледано 2892 пъти

[laflame]

Надявам се да не ставам досаден.
Локалният максимум на функцията f(x) = 4/([tex]x^{2 }[/tex] -4x +8) x[tex]\epsilon[/tex] (-[tex]\infty[/tex] ; [tex]\infty[/tex])

[ammornil]

Надявам се да не ставам досаден.
Локалният максимум на функцията f(x) = 4/([tex]x^{2 }[/tex] -4x +8) x[tex]\epsilon[/tex] (-[tex]\infty[/tex] ; [tex]\infty[/tex])

Един начин да решим задачата е:

Screenshot 2022-05-06 181405.png (61.46 KiB) Прегледано 2867 пъти

Задачата може да се реши и с по-обобщения метод за изследване на функции:

Screenshot 2022-05-06 181423.png (103.6 KiB) Прегледано 2867 пъти

[laflame]

Тези функции ще ме съсипят.Задачите които давам са от изпитите на ТУ, включая редовни и предварителни.
Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията f(x) = [tex]x^{2 }[/tex](x-2) в затворения интервал [1;2]
Начина по който я решавам е:
1)f(x) = x^3 - 2x^2
2) f'(x) = 3x^2 -4x
3) 3x^2-4x = 0 ==> x=0 ; x=4/3
Имам проблем обаче с определянето на знаците.Аз избирам число от интервала (-[tex]\infty[/tex] ; 0) и го замествам в първата производна.Да речем -1.Получавам 7>0 => Функцията расте в интервала от -безкрайност до 0.
След това от интервала (0 ; 4/3) избирам 1.Получавам -1.Значи намалява.
Същото нещо правя и за последния интервал, където намирам, че функцията расте.
В дадения интервал [1;2] функцията първо намалява и от 4/3 започва да расте.За най-малка стойност вземам 4/3, но за най-голяма си мисля, че е при 1.Защото на числовата ос, единицата е по-далеч от 4/3, отколкото двойката.Къде бъркам?
Следващата задача върху която се затруднявам е:
Допирателната към графиката на функцията f(x) = x^2 -6x + 8 в точка М (1;3) сключва с положителната посока на абсцисната ос, ъгъл, чийто косинус е?
Намирам първата производна = 2х - 6
tg[tex]\alpha[/tex] = f"(1) = 2-6 = -4
Намирам, че косинус алфа е [tex]\pm \sqrt{17}[/tex]/17 , но как да разбера, дали е + или -?

[ammornil]

[tex]f(x)=x^{2}(x-2), x \in [1;2][/tex]
Правилно определяте, че в интервала от 1 до 2 има локален екстремум и този екстремум е минимум. Оттук следва, че там е най-малката стойност на функцията в дадения интервал.
Понеже има локален екстремум, за стойностите на "х" преди минимума функцията намалява, а след него расте. Тогава, най-голямата стойност на функцията е по-голямата от стойностите на функцията в краищата на разглеждания интервал. В този случай, при х=2.

220507_001.png (20.66 KiB) Прегледано 2855 пъти

За втората задача, имаме квадратна функция. Старшият коефициент е положителен, следователно параболата е обърната с върха надолу, следва че пру върха на праваболата функцията има минимум.
За всички точки преди минимума на параболата, допирателните към тях сключват с положителната посока на абсцисата тъп ъгъл, за всички точки след минимума, допирателните склщчват остър ъгъл. В точката на екстремума, допирателната е успоредна на абсцисната ос.

Върхът на праболата винаги е в точката, където [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex]. В нашия случай, това е за [tex]x=3[/tex]. Точката М има за координата [tex]x=1[/tex], следователно лежи преди върха на параболата, тоест допирателната към нея сключва с абсцисната ос тъп ъгъл. Оттам, косинусът е отрицателен.

220507_002.png (14.53 KiB) Прегледано 2855 пъти

Една корекция: написали сте [tex]\tg{\alpha}=f''(1)=-4[/tex], а трябва да бъде [tex]\tg{\alpha}=f'(1)=-4[/tex]

[laflame]

Благодаря!
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които неравенството [tex]x^{2 }[/tex]-( а + 5)x +3a + 6 [tex]\le[/tex] 0 е изпълнено за всички числа x от интервала [3;4]
Задачата съм я решавал, но това което съм правил е f(3)[tex]\le[/tex]0 и f(4)[tex]\le[/tex]0.
В първия случай всяко а е решение, а във втория а[tex]\epsilon[/tex] [2;[tex]\infty[/tex])
Това ли е правилния начин?

[ammornil]

Да, идеята Ви е правилна.

По друг начин можем да подходим с разбирането, че задачата пита, за кои стойности на "а" уравнението има корени [tex]x_{1}\le 3, x_{2}\ge4[/tex]
[tex]D=(a-1)^{2} \ge0 \Rightarrow \forall a \in R[/tex]
[tex]x_{_{1,2}}=\frac{a+5\pm |(a-1)|}{2} \begin{cases} x_{_{1,2}}=\frac{a+5\pm(a-1)}{2}, a\ge 1 \\ x_{_{1,2}}= \frac{a+5\pm(1-a)}{2}, a\le1 \end{cases}[/tex]

1) [tex]Da: a \ge 1 \Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a+5-(a-1)}{2}\le3 \\ \\ \frac{a+5+(a-1)}{2}\ge4 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \forall a \in R \\ \\ a+2 \ge 4 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \forall a \in R \\ \\ a \ge 2 \end{array} \Rightarrow a \in [2;+ \infty)[/tex]

2) [tex]Da: a \le 1 \Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a+5-(1-a)}{2}\le3 \\ \\ \frac{a+5+(1-a)}{2}\ge4 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a+2 \le 3 \\ \\ a \in \varnothing \end{array} \Rightarrow a \in \varnothing[/tex]

Screenshot 2022-05-07 214019.png (24.15 KiB) Прегледано 2836 пъти

[laflame]

Ето още две с които се затруднявам.
1) Пирамидата ABCD, има за основа равностранен т-ник ABC, околният ръб AD е успореден на основата, и радиус на вписаната сфера - 1см.Лицата на [tex]\triangle[/tex]BCD и [tex]\triangle[/tex]ABC се отнасят както 2:[tex]\sqrt{2}[/tex].Да се намери височината на пирамидата.
2)Да се намери стойността на параметъра а, за която уравнението |2+2x-x^2|=a има точно 3 решения.
За втората задача, логиката ми е, че за да има точно три решения, поне в един от случаите, дискриминантата трябва да бъде 0. => 2+2x-x^2 = a -> -x^2+2x + 2 -a = 0 -> x^2-2x-2+a = 0 ; D= 12-4a=0 -> a = 3.Правилно ли е и има ли и друг метод?

[ammornil]

Ето още две с които се затруднявам.
1) Пирамидата ABCD, има за основа равностранен т-ник ABC, околният ръб AD е успореден на основата, и радиус на вписаната сфера - 1см.Лицата на [tex]\triangle[/tex]BCD и [tex]\triangle[/tex]ABC се отнасят както 2:[tex]\sqrt{2}[/tex].Да се намери височината на пирамидата.
2)Да се намери стойността на параметъра а, за която уравнението |2+2x-x^2|=a има точно 3 решения.
За втората задача, логиката ми е, че за да има точно три решения, поне в един от случаите, дискриминантата трябва да бъде 0. => 2+2x-x^2 = a -> -x^2+2x + 2 -a = 0 -> x^2-2x-2+a = 0 ; D= 12-4a=0 -> a = 3.Правилно ли е и има ли и друг метод?

(1) Околният ръб на пирамида не може да бъде успореден на основата. Да не би да е перпендикулярен?

(2)Да, логиката Ви е правилна. Търсим решения, в които един от случаите за стойността на израза след разкриване на модула има детерминанта 0.

[tex]|2+2x-x^{2}|=a \Rightarrow \begin{cases} 2+2x-x^{2}=a \Leftrightarrow x^{2}-2x-2+a=0 \\ 2+2x-x^{2}=-a \Leftrightarrow x^{2}-2x-2-a=0 \end{cases}[/tex]

(i) [tex]x^{2}-2x-2+a=0, \phantom{QQQ} D=1-(a-2)=3-a, \phantom{QQQ} x_{1,2}=1\pm\sqrt{3-a}[/tex]

(ii) [tex]x^{2}-2x-2-a=0, \phantom{QQQ} D=1-(-a-2)=3+a, \phantom{QQQ} x_{3,4}=1\pm\sqrt{3+a}[/tex]

Вижда се, че при [tex]a=-3[/tex] или [tex]a=3[/tex] уравнението има точно три решения.

[laflame]

Ето още две с които се затруднявам.
1) Пирамидата ABCD, има за основа равностранен т-ник ABC, околният ръб AD е успореден на основата, и радиус на вписаната сфера - 1см.Лицата на [tex]\triangle[/tex]BCD и [tex]\triangle[/tex]ABC се отнасят както 2:[tex]\sqrt{2}[/tex].Да се намери височината на пирамидата.
2)Да се намери стойността на параметъра а, за която уравнението |2+2x-x^2|=a има точно 3 решения.
За втората задача, логиката ми е, че за да има точно три решения, поне в един от случаите, дискриминантата трябва да бъде 0. => 2+2x-x^2 = a -> -x^2+2x + 2 -a = 0 -> x^2-2x-2+a = 0 ; D= 12-4a=0 -> a = 3.Правилно ли е и има ли и друг метод?

(1) Околният ръб на пирамида не може да бъде успореден на основата. Да не би да е перпендикулярен?

(2)Да, логиката Ви е правилна. Търсим решения, в които един от случаите за стойността на израза след разкриване на модула има детерминанта 0.

[tex]|2+2x-x^{2}|=a \Rightarrow \begin{cases} 2+2x-x^{2}=a \Leftrightarrow x^{2}-2x-2+a=0 \\ 2+2x-x^{2}=-a \Leftrightarrow x^{2}-2x-2-a=0 \end{cases}[/tex]

(i) [tex]x^{2}-2x-2+a=0, \phantom{QQQ} D=1-(a-2)=3-a, \phantom{QQQ} x_{1,2}=1\pm\sqrt{3-a}[/tex]

(ii) [tex]x^{2}-2x-2-a=0, \phantom{QQQ} D=1-(-a-2)=3+a, \phantom{QQQ} x_{3,4}=1\pm\sqrt{3+a}[/tex]

Вижда се, че при [tex]a=-3[/tex] или [tex]a=3[/tex] уравнението има точно три решения.

Да, грешката е моя.Околният ръб е перпендикулярен.

[ammornil]

Ето още две с които се затруднявам.
1) Пирамидата ABCD, има за основа равностранен т-ник ABC, околният ръб AD е ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН на основата, и радиус на вписаната сфера - 1см.Лицата на [tex]\triangle[/tex]BCD и [tex]\triangle[/tex]ABC се отнасят както 2:[tex]\sqrt{2}[/tex].Да се намери височината на пирамидата.

В момента не се сещам за решение на тази, може би е добре да я публикувате в нова тема, за да я реши някой от колегите. Съжалявам, че не мога да Ви помогна.

[laflame]

Няма проблем, ще се справя.Само въпрос имам, относно втората.Отговора е само а=3, нали?

[ammornil]

Няма проблем, ще се справя.Само въпрос имам, относно втората.Отговора е само а=3, нали?

и двете стойности са решения, защото са в допустимите стоиности за [tex]а[/tex].

[laflame]

Да се намерят решенията на уравнението [tex]\frac{cosx}{|cosx|}[/tex] + 1 = cos2x, които принадлежат на интервала [0 ; [tex]\pi[/tex]].Не мога да ги схвана тия тригонометрични уравнения...Ясно ми е, че трябва да го преобразувам до основно, но самия начин за намирането на решенията ме затруднява.

[ammornil]

Да се намерят решенията на уравнението [tex]\frac{cosx}{|cosx|}[/tex] + 1 = cos2x, които принадлежат на интервала [0 ; [tex]\pi[/tex]].Не мога да ги схвана тия тригонометрични уравнения...Ясно ми е, че трябва да го преобразувам до основно, но самия начин за намирането на решенията ме затруднява.

Дифиниционното множество показва, че [tex]x \ne \frac{\pi}{2}[/tex]
Аз бих разгледал два подинтервала (два случая):

(1) за [tex]x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow cosx>0 \Rightarrow 1+1 = \cos{2x} \Rightarrow \cos{2x}=2 \Rightarrow x \in \varnothing[/tex]
(2) за [tex]x \in \left(\frac{\pi}{2};\pi \right] \Rightarrow cosx<0 \Rightarrow -1+1 = \cos{2x} \Rightarrow \cos{2x}=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \notin \left(\frac{\pi}{2};\pi \right] \Rightarrow x \in \varnothing[/tex]

Дадения интервал разделям на такива подинтервали, където знакът на целевата функция (в този случай косинус) остава постоянен, оттам и знакът на частното с модула също е един и същ в целия подинтервал.

[laflame]

Отговора на задачата е [tex]\frac{3 \pi }{4}[/tex]
Аз я решавам, като представя cos2x = 2[tex]cos^{2 }[/tex]x-1
=> 1-вия случай cosx = [tex]\frac{[ \sqrt{6} ]}{2}[/tex], което не влиза в ДМ
=> 2-рия случай cosx = [tex]\pm \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] - 45/135 градуса и вече тук не ми е ясно как да я реша.Отговора е 3п/4 и бих могъл да го получа, като заместя с -[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex], но не съм сигурен дали това е правилния начин.