Правоъгълник, вписан в трапец

[Гост]

Здравейте, имам проблем със следната задача, давана на кандидатстудентски изпит:

Даден е трапецът [tex]ABCD[/tex] [tex](AB || CD)[/tex] с голяма основа [tex]AB = 29[/tex], малка основа [tex]CD = 15[/tex] и бедра [tex]AD = 13, BC = 15[/tex].
В трапеца е вписан правоъгълник [tex]MNPQ -[/tex] точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] лежат на основата [tex]AB[/tex], точката [tex]P[/tex] лежи на бедрото [tex]BC[/tex], а точката [tex]Q[/tex] лежи на бедрото [tex]AD[/tex]. Да се намери дължината на [tex]MQ[/tex], ако лицето на правоъгълника [tex]MNPQ[/tex] е максимално.

Моето решение:
Нека [tex]MQ = NP = x (x > 0), MN = PQ = y (y > 0)[/tex]. Тогава лицето на правоъгълника е [tex]S = x \cdot y[/tex]
Чрез подобия изразявам [tex]y = 29 - \frac{7x}{6}[/tex], т.е. лицето е [tex]S = x \cdot \left(29 - \frac{7x}{6}\right)[/tex]
[tex]S' = 29 - \frac{7x}{3} -[/tex] нулира се при [tex]x = \frac{87}{7}[/tex]. Забелязваме растене в интервала [tex](0; \frac{87}{7}][/tex] и намаляване в [tex][\frac{87}{7}; + \infty )[/tex], следователно лицето е максимално, когато [tex]x = \frac{87}{7}[/tex], което е и търсената дължина на [tex]MQ[/tex]
Това означава, че точката [tex]Q[/tex] лежи на продължението на [tex]AD[/tex], което не мисля, че е проблем, тъй като даденият отговор е:
[tex]MQ = 12[/tex] или [tex]MQ = \sqrt{369}[/tex]
Каквото и да направя, не мога да достигна до тези отговори, не виждам и какво съм объркал в моето решение. Ще съм благодарен, ако някой откликне

[math10.com]

Питаш къде ти е грешката в решението?
Нямаш изчислителна грешка.Просто бъркаш логически понятията.Когато говорим за вписана фигура, няма как върхът да е на продължението на бедрото.Правоъгълника трябва изцяло да е вътре в контура на трапеца като върховете му трябва да лежат на страните на трапеца.Това е определението за вписана фигура.При твоите изчисления и разсъждения просто трябва да сложиш ограничение [tex]x \in (0;12][/tex] и от това че функцията е растяща в този интервал на аргумента да определиш максимално лице при [tex]x=12[/tex].
Относно 2-рия отговор , тъй като не са опоменати местата на точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex], то може да се окаже че [tex]MQ[/tex], не е страна на правоъгълника , а негов диагонал.Така с Питагорова теорема намираш дължината му, а именно [tex]\sqrt{369}[/tex]

[Гост]

Ахааа, благодаря много за това уточнение!