Изпит ТУ - София-2022

[Гост]

Тази задача е давана на теста в Технически университет - 2022 г.
Не знам как се решава и затова търся помощ!
Зад. 30: Стойността на параметъра a, за която уравнението |x^2 + 2x + 2| + |x^2 – 1| = a има точно едно решение, принадлежи на интервала:

[Davids]

Понеже $\forall x\in\R: x^2+2x+2 > 0$, то $|x^2+2x+2| = x^2+2x+2$. Оттам уравнението се свежда до:

$x^2+2x+2 + |x^2-1| = a$

Разглеждаме два случая.

I) сл.: $x^2 - 1 \le 0 \Rightarrow |x^2-1| = 1-x^2$

Тогава уравнението става:

$x^2+2x+2+1-x^2-a=0$
$x = \frac{a-3}{2}$

Решението е единствено, но трябва да се подсигурим и че съществува. Е, щом хикса ще е толкова, искаме и израза за а да е в указаните за случая граници, т.е.:

$\left|\frac{a-3}{2}\right| \le 1$
$-2\le a-3\le 2$

$\boxed{1\le a\le 5}$

II) сл.: $x^2-1>0$

Тогава уравнението се свежда до квадратното:

$2x^2+2x+1-a=0$

С дискриминанта $D = 4-8(1-a) = 8a-4$

За да имаме единствено решение, търсим нулева дискриминанта, т.е. $D = 0\Rightarrow a =\frac{1}{2}$

Остава да проверим, че полученият корен е в границите за случая. Ами коренът е $x = - \frac{2}{4}$, което за жалост не по-голямо от 1 по модул и затова този двоен корен не е възможен.

Оставаме само с отговора от първия случай.

[Гост]

Верният отговор е [- 2; 3/2]. Аз не виждам как може да се получи този отговор.
В прикаченият файл са дадените отговори.

[Davids]

Моето решение че е глупост, глупост е. Разглеждането на случаи не може да стане изолирано, понеже ограничаваме интервалите за $x$, а уравнението си живее и встрани от нашите ограничения.

Обаче не ми изглежда и никой от посочените отговори да е верен. Сякаш само при $a=1$ решението е единствено.

[pal702004]

Графика на функцията $a=y=x^2+2x+2+|x^2-1|$ си е чиста парабола $y=2x^2+2x+1$, отрязана от правата $y=2x+3$ на $[-1;1]$

И всяка своя стойност приема в 2 точки, с изключение на абсолютния минимум $x=-1,a=y=1$.

[nenam]

Как се стига до отговора, че само при a = 1 има единствено решение, но без графики? Графиките ми се струват твърде сложни.

[S.B.]

Тази задача е давана на теста в Технически университет - 2022 г.
Не знам как се решава и затова търся помощ!
Зад. 30: Стойността на параметъра a, за която уравнението |x^2 + 2x + 2| + |x^2 – 1| = a има точно едно решение, принадлежи на интервала:

[tex]| x^{2 } + 2x + 2| + | x^{2 } - 1|= a[/tex]
DM : [tex]x \in (- \infty; + \infty)[/tex]
Тричленът [tex]x^{2 } + 2x + 2 > 0[/tex] за [tex]\forall x \in[/tex] D.M.,никога не се анулира,защото $D < 0$
Двучленът [tex]x^{2 } - 1 = (x - 1)(x +1)[/tex] се анулира за [tex]x = \pm 1[/tex] и за това DM се раздела на три подмножества:
[tex]DM_{1 } : x \in (- \infty ; -1 ][/tex]
[tex]DM_{2 } : x \in [-1;1][/tex]
[tex]DM_{3 } : x \in [1; + \infty )[/tex]

Уравнението ще разгледам над всяко от тези подмножества:

1)[tex]\begin{array}{|l} DM_{1 }: x \in (- \infty;-1] \\ | x^{2 }+ 2x + 2| +| x^{2 } - 1| - a = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + 2x + 2 + (x^{2 } - 1) - a =0 \Leftrightarrow 2 x^{2 }+2x + 1 - a=0 \end{array}[/tex]
Искаме уравнението да има единствен корен:
[tex]D = 4 - 8(1 - a) = 0 \Leftrightarrow 1 - a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x^{2 } + 2x +1 - a = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + 2x + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + 2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2 } + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex](2x + 1)^{2 } = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \notin DM_{1 }[/tex]

2)[tex]\begin{array}{|l} DM_{2 } : x \in [-1; 1]\\ | x^{2 }+ 2x + 2| + | x^{2 } - 1| = a \Leftrightarrow x^{2 }+ 2x + 2 -( x^{2 } - 1) - a = 0 \Leftrightarrow 2x + 3 - a = 0\end{array}[/tex]
[tex]2x + 3 - a = 0 \Leftrightarrow 2x = a - 3 \Rightarrow x = \frac{a - 3}{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} x \in [-1 ; 1]\\ x = \displaystyle \frac{a - 3}{2} \Rightarrow \displaystyle \frac{a - 3}{2} \in [-1 ; 1]\end{cases}[/tex]
[tex]\frac{a -3}{2} \ge - 1 \Leftrightarrow \frac{a - 3}{2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{a - 3 + 2}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{a -1}{2} \ge 0 \Rightarrow a \ge 1[/tex]
[tex]\frac{a - 3}{2} \le 1 \Leftrightarrow \frac{a - 3}{2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{a - 3 - 2}{2} \le 0 \Leftrightarrow \frac{a - 5}{2} \le 0 \Rightarrow a \le 5[/tex]
За [tex]a \in [1 ; 5][/tex] уравнението има единствен корен [tex]x = \frac{a - 3}{2}[/tex]

3)[tex]\begin{array}{|l} DM_{3 }: x \in [1 ; + \infty )\\ | x^{2 }+ 2x + 2| + | x^{2 } - 1| = a \Leftrightarrow x^{2 }+ 2x + 2 +( x^{2 } - 1) - a = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2 } + 2x + 1 - a = 0 \end{array}[/tex]
И тук,както при случая с [tex]DM_{1 }[/tex] се получава ,че [tex]D = 0[/tex] за [tex]а = \frac{1}{2}[/tex].Тук също се получава,че единственият корен е [tex]x = - \frac{1}{2} \notin DM_{3 }[/tex]

Остава ,че само за [tex]\forall a\in[1;5][/tex] уравнението притежава единствен корен [tex]x = \frac{a - 3}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Отговорът,който е даден според мен не е верен.Лесно можете да се убедите със следната проверка:
Ако [tex]a\in [- 2; \frac{3}{2}][/tex] , тогава $a = 0$ принадлежи на този интервал.
Разглеждам уравнението |[tex]|x^{2 } + 2x + 2| + | x^{2 } - 1| = 0[/tex] над [tex]DM_{1 }[/tex] и [tex]DM_{2 }[/tex]

[tex]DM_{1 }:[/tex] ( Същото важи и за [tex]DM_{3 }[/tex])
[tex]x^{2 } + 2x + 2 + x^{2 } - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2 } + 2x + 1 = 0 , D = 4 - 8 < 0 \Rightarrow[/tex] няма реални корени

[tex]DM_{2 }:x \in [-1;1][/tex]
[tex]x^{2 } + 2x + 2 - x^{2 }+ 1 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{2} \notin DM_{2 }[/tex]

[pal702004]

Отговорът,който е даден според мен не е верен.Лесно можете да се убедите със следната проверка:
Ако [tex]a\in [- 2; \frac{3}{2}][/tex] , тогава $a = 0$ принадлежи на този интервал.

В момента неправилно интерпретирате условието. В задачата се иска да се посочи интервала, съдържащ правилният отговор, а не че целият интервал отговаря на условието. Прочетете внимателно условието. Там дори "стойността" е в единствено число, т.е., значението е единствено и се пита на кой от изброените интервали принадлежи. Интервала $[-2; \frac 3 2] $ е единственият от посочените , съдържащ правилния отговор $a=1$
За топикстартера: не знам кое му е сложното/страшното на графиката, освен че вместо y пише a.
Да я погледнем

и нещата стават пределно ясни.

[Гост]

Ако някой се интересува може да погледне https://solemabg.com/TestKMtu_2022_2.php