Задача от конкурсен изпит през 1999 г.

[Гост]

Дадено е уравнението:
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a - 3 = 0[/tex], където $a$ е реален параметър.

а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
б) Да се намерят стойностите на $a$ , за които уравнението има реален корен $u$ ,такъв че стойността на [tex]|u - \sqrt{2}|[/tex] е най-малка.

[Гост]

zamesti da vidim kvo sha sa poluchi

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a - 3 = 0[/tex], където $a$ е реален параметър.

а) Да се докаже, че числото [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.
б) Да се намерят стойностите на $a$ , за които уравнението има реален корен $u$ ,такъв че стойността на [tex]|u - \sqrt{2}|[/tex] е най-малка.

а)

[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a - 3 = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2 } - 6ax - x + a^{2 } + 6a - 3 = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]a^{2 } - 6(x -1)a + (3 x^{2 } - x - 3) = 0[/tex]
Получи се уравнение еквивалентно на даденото с неизвестно $a$ и коефициенти:
[tex]A = 1, B = -6(x - 1) ,C = (3 x^{2 } - x - 3)[/tex]
С това уравнение ,което е равносилно на даденото ще работим.
То ще има реални корени $a$ когато [tex]D = B^{2 } - 4AC \ge 0[/tex]
[tex]D = 36 (x - 1)^{2 } - 4( 3x^{2 } - x - 3) \ge 0 \Leftrightarrow D = 4[9( x^{2 } - 2x + 1) - ( 3x^{2 } - x - 3)] \ge 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]D = 6 x^{2 } - 17x + 12 \ge 0[/tex]
[tex]6 x^{2 } - 17x + 12 = 6( x - \frac{3}{2})(x - \frac{4}{3} ) \ge 0 \Rightarrow x \in (- \infty; \frac{4}{3}] \cup [ \frac{3}{2}; + \infty)[/tex]
[tex]\sqrt{2} \in ( \frac{4}{3} ; \frac{3}{4}) \Rightarrow[/tex] за [tex]x = \sqrt{2}[/tex] няма реална стойност за $a$, която да удовлетворява уравнението

б)
[tex]\sqrt{2} \in ( \frac{4}{3}; \frac{3}{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]Най - близо до [tex]\sqrt{2}[/tex] са [tex]u = \frac{4}{3}[/tex] и [tex]u = \frac{3}{2}[/tex] , като [tex]|\frac{4}{3}- \sqrt{2}| < |\frac{3}{2}- \sqrt{2}|[/tex]
Тогава стойността [tex]| u - \sqrt{2}|[/tex] ще бъде най - малка за [tex]x = u = \frac{4}{3}[/tex]
Замествам в уравнението [tex]x = \frac{4}{3}[/tex]:
[tex]a^{2 } - 6a( \frac{4}{3} - 1) + (3. \frac{16}{9} - \frac{4}{3} - 3) = 0 \Leftrightarrow a^{2 } - 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1[/tex]

[Гост]

Благодаря!