За всички бивши,настоящи и бъдещи кандидатстуденти!

[S.B.]

В триъгълника $ABC$ ъглополовящите [tex]A A_{1 },( A_{1 } \in BC)[/tex] и [tex]B B_{1 }, ( B_{1 } \in AC)[/tex] се пресичат в т.$J$ и около четириъгълника [tex]C B_{1 }J A_{1 }[/tex] може да се опише окръжност.[tex]S_{C B_{1 }J A_{1 } } = 27 \sqrt{3}[/tex] , а радиусът на описаната около него окръжност е [tex]2 \sqrt{7}[/tex].
Да се намерят страните на четириъгълника [tex]C B_{1 }J A_{1 }[/tex] и страните на [tex]\triangle ABC[/tex]

[KOPMOPAH]

Хубав поздрав за студентския празник!

[peyo]

Хубав поздрав за студентския празник!

Ха, вярно! Днес Честит 8 Декември!

[Евва]

Получавам J[tex]A_{1 }[/tex]=J[tex]B_{1 }[/tex]= 2[tex]\sqrt{7}[/tex] , C[tex]A_{1 }[/tex]=10 , C[tex]B_{1 }[/tex]=8
Греша ли ? Може ли отговорите за АВ ,АС и ВС ?
Радиусът на коя окръжност е 2[tex]\sqrt{7}[/tex] ?

[S.B.]

Получавам J[tex]A_{1 }[/tex]=J[tex]B_{1 }[/tex]= 2[tex]\sqrt{7}[/tex] , C[tex]A_{1 }[/tex]=10 , C[tex]B_{1 }[/tex]=8
Греша ли ?

Не, не грешиш!

Може ли отговорите за АВ ,АС и ВС ?

21,15,24

Радиусът на коя окръжност е 2[tex]\sqrt{7}[/tex] ?

Казано е:

[tex]....S_{C B_{1 } J A_{1 } } = 27 \sqrt{3}[/tex] , а радиусът на описаната около НЕГО окръжност е [tex]2\sqrt{7}...[/tex]

Без заглавие - 2022-12-10T102721.138.png (215.03 KiB) Прегледано 1662 пъти

[Евва]

В окръжност с радиус 2[tex]\sqrt{7}[/tex] не може да се впише четириъгълник със страни -2[tex]\sqrt{7}[/tex] ,2[tex]\sqrt{7}[/tex] ,10 и 8 .

[S.B.]

В окръжност с радиус 2[tex]\sqrt{7}[/tex] не може да се впише четириъгълник със страни -2[tex]\sqrt{7}[/tex] ,2[tex]\sqrt{7}[/tex] ,10 и 8 .

Защо да не може? Обоснови се!Ти не използва ли радиуса за да намериш страните??
Аз не съм измислила задачата, а математиците от СУ "Св.Климент Охридски".Задачата е давана на конкурсен изпит 2001 или 2002 г. като втора задача в темата на 16 юли (не помня точно годината.)Ако имаше грешка в условието , скандалът щеше да е грандиозен още тогава,но такъв нямаше.

[Евва]

Извинявам се ,грешката е моя .
Успях да реша зад. , но няма да я пращам .

[S.B.]

В триъгълника $ABC$ ъглополовящите [tex]A A_{1 },( A_{1 } \in BC)[/tex] и [tex]B B_{1 }, ( B_{1 } \in AC)[/tex] се пресичат в т.$J$ и около четириъгълника [tex]C B_{1 }J A_{1 }[/tex] може да се опише окръжност.[tex]S_{C B_{1 }J A_{1 } } = 27 \sqrt{3}[/tex] , а радиусът на описаната около него окръжност е [tex]2 \sqrt{7}[/tex].
Да се намерят страните на четириъгълника [tex]C B_{1 }J A_{1 }[/tex] и страните на [tex]\triangle ABC[/tex]

Без заглавие - 2022-12-12T143009.586.png (299.61 KiB) Прегледано 1588 пъти

Нека [tex]\angle C = \varphi[/tex] , а [tex]\angle B_{1 }J A_{1 } = \varphi _{1 }[/tex]
Тъй като [tex]\angle \varphi _{1 }[/tex] е ъгълът между ъглополовящите при основата $AB$ на триъгълника,а [tex]\angle \varphi[/tex] е ъгълът при върха $C$ то лесно се доказва,че [tex]\varphi _{1 } = 90 ^\circ + \frac{ \varphi }{2}[/tex]
От условието,че около [tex]C B_{1 }J A_{1 }[/tex] може да се опише окръжност [tex]\rightarrow[/tex]:
[tex]\varphi + \varphi _{1 } = 180 ^\circ \Leftrightarrow \varphi + 90 ^\circ +\frac{ \varphi }{2} = 180 ^\circ \Leftrightarrow \frac{3 \varphi }{2} = 90 ^\circ \Rightarrow \varphi = 60 ^\circ , \varphi _{1 } = 120 ^\circ[/tex]
$J$ е пресечна точка на ъглополовящите [tex]\Rightarrow CJ[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle C \Rightarrow \angle B_{1 }CJ = \angle A_{1 } CJ = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle B_{1 } A_{1 }J = \angle A_{1 } B_{1 }J = 30 ^\circ[/tex] (измерват се със същите дъги с които се измерват и [tex]\angle A_{1 }CJ[/tex] и [tex]\angle B_{1 }CJ[/tex])
За [tex]\triangle B_{1 }J A_{1 }[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ A_{1 } J}{\sin 30 ^\circ } = \frac{ B_{1 }J }{\sin 30 ^\circ } = \frac{ B_{1 } A_{1 } }{\sin 120 ^\circ } = 2.2 \sqrt{7}[/tex]
Получавам :
[tex]B_{1 }J = A_{1 }J = 2 \sqrt{7} , A_{1 } B_{1 } = 2 \sqrt{21}[/tex]
[tex]S_{ CB_{1 }J A_{1 } } = S_{ B_{1 } A_{1 }C } + S_{ B_{1 } J A_{1 } } \Leftrightarrow 27 \sqrt{3} = \frac{ B_{1 }C. A_{1 }C }{2}\sin 60 ^\circ + \frac{ (2 \sqrt{7}) ^{2 } }{2}\sin 120 ^\circ[/tex]
Нека [tex]B_{1 }C = x , A_{1 }C = y[/tex]
Тогава :
[tex]27 \sqrt{3} = \frac{xy \sqrt{3} }{4} + \frac{28 \sqrt{3} }{4} \Leftrightarrow 27 = \frac{xy}{4} + 7[/tex]
$$\Rightarrow xy = 80$$
За [tex]\triangle B_{1 } A_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]B_{1 } A_{1 } ^{2 } = B_{1 }C ^{2 } + A_{1 }C ^{2 } - 2 B_{1 }C. A_{1 }C.\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow (2 \sqrt{21}) ^{2 } = x^{2 } + y^{2 } - 2xy. \frac{1}{2} \Leftrightarrow 84 = (x + y)^{2 } -3xy[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} xy = 80 \\ (x + y)^{2 } = 84 + 3xy \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} xy = 80 \\ (x + y)^{2 } = 324 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} xy=80 \\ x + y = 18 \end{array}[/tex]

Получава се $x= 8 , y=10$ и $x = 10, y = 8$
Страните на четириъгълника са
[tex]B_{1 }C = 8 , A_{1 }C = 10 , B_{1 }J = A_{1 } J = 2 \sqrt{7}[/tex]
или
[tex]B_{1 }C = 10 , A_{1 }C = 8 , B_{1 }J = A_{1 }J = 2 \sqrt{7}[/tex]

Иабирам [tex]C B_{1 } = 8 , C A_{1 } = 10[/tex] (Защото така пасва на чертежа.Ако избера обратното ,ще трябва да сменя чертежа!)
За [tex]\triangle A A_{1 } C[/tex] и [tex]\triangle B B_{1 }C, CJ[/tex] се явява ъглополовяща на [tex]\angle C = 60 ^\circ[/tex]
Ще използвам следната формула за ъглополовяща в триъгълник:
$$l_{ \gamma } = \displaystyle\frac{2a.b.\cos \displaystyle\frac{ \gamma }{2} }{a + b}$$
Ще намеря $CJ$:
Т.$J$ е център на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
[tex]JM \bot AC, JN \bot BC[/tex] са радиуси.
[tex]S_{ B_{1 }J A_{1 }C } = S_{ B_{1 }JC } + S_{ A_{1 } JC} \Leftrightarrow S_{ B_{1 }J A_{1 }C } = \frac{ B_{1 }C.JM }{2} + \frac{ A_{1 }C.JN }{2} \Leftrightarrow 27 \sqrt{3} = \frac{8r}{2} + \frac{10r}{2} \Leftrightarrow 27 \sqrt{3} = 9r[/tex]
[tex]\Rightarrow r = 3 \sqrt{3}[/tex]
За [tex]\triangle CJN , CJ[/tex] е хипотенуза , а [tex]JN = r[/tex] е катет който лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow CJ= 2r = 6 \sqrt{3}[/tex]

За [tex]\triangle A A_{1 }C[/tex]:
[tex]CJ =\displaystyle \frac{2.AC.C A_{1 }.\cos 30 ^\circ }{AC+C A_{1 } } \Leftrightarrow 6 \sqrt{3} =\displaystyle \frac{2.10.AC. \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} }{AC + 10} \Leftrightarrow6 = \frac{10.AC}{AC + 10 } \Leftrightarrow 6.AC + 60 = 10.AC[/tex]
$$\Rightarrow AC = 15$$
За [tex]\triangle B B_{1 }C[/tex]:
[tex]CJ = \displaystyle \frac{2.BC. B_{1 }C.\cos 30 ^\circ }{BC + B_{1 }C } \Leftrightarrow 6 \sqrt{3} = \frac{2.BC.8.\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} }{BC + 8}[/tex]
$$\Rightarrow BC = 24$$

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AC^{2 } + BC^{2 } - 2.AC.BC.\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow AB^{2 }= 15^{2 } + 24^{2 } - 2.15.24. \frac{1}{2}[/tex]
$$\Rightarrow AB = 21$$