Основа на равнобедрен трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец
ABCD
диагоналът
BD
е перпендикулярен на
бедрото
AD
, голямата основа
AB
има дължина
a
и
CD=2*BC.
. Да се
намери дължината на основата
CD.

[ammornil]

В равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] диагоналът [tex]BD[/tex] е перпендикулярен на бедрото [tex]AD[/tex], голямата основа [tex]AB[/tex] има дължина [tex]a[/tex] и [tex]CD=2\cdot BC[/tex]. Да се намери дължината на основата [tex]CD[/tex].

230305_002.png (16.78 KiB) Прегледано 1498 пъти

[tex][/tex]

Понеже [tex]BD \bot AD[/tex] отсечка [tex]AB[/tex] се вижда под прав ъгъл от описаната около трапеца окръжност, следователно [tex]AB[/tex] е диаметър на описаната около трапеца окръжност.
Оттук [tex]AO=BO=CO=DO=\frac{a}{2}[/tex]
Нека [tex]BC=x, \hspace{1em} \text{ ДМ(x)}: x > 0, \hspace{1em} \Rightarrow \begin{cases} AD=x \hspace{2em} \text{ от равнобедрен трапец} \\ CD=2x \hspace{1em} \text{ от условието } \end{cases}[/tex].
Нека [tex]\angle{BAD} = \alpha[/tex]

[tex]\triangle{ABD} \rightarrow \cos{\alpha}=\frac{AD}{AB}=\frac{x}{a}[/tex]

Построяваме височините [tex]DD_{1} \bot AB[/tex] и [tex]CC_{1}\bot AB[/tex], [tex]D_{1}C_{1}CD[/tex] е правоъгълнил, следователно [tex]D_{1}C_{1}=CD=2x[/tex]
[tex]\triangle{AD_{1}D} \cong \triangle{BC_{1}C} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ AD=BC \\ DD_{1}=CC_{1} \end{cases} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=\frac{AB-D_{1}C_{1}}{2}=\frac{a-2x}{2}[/tex]

[tex]\triangle{AD_{1}D} \rightarrow \cos{\alpha}=\frac{AD_{1}}{AD}=\frac{\frac{a-2x}{2}}{x}=\frac{a-2x}{2x}[/tex]

[tex]\begin{cases} \cos{\alpha}=\frac{x}{a} \\ \cos{\alpha}=\frac{a-2x}{2x} \end{cases} \Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{a-2x}{2x} \Leftrightarrow 2x^{2} = a^{2}-2ax \Leftrightarrow 2x^{2} +2ax-a^{2}=0[/tex]
[tex]D=a^{2}-2\cdot (-a^{2})=3a^{2} \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-a\pm a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]x_{1}=\frac{-a- a\sqrt{3}}{2} < 0 \Rightarrow \notin \text{ ДМ(x)}[/tex]
[tex]x_{2}=\frac{-a+ a\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot a}{2} >0 \Rightarrow \in \text{ ДМ(x)} \Rightarrow x= \frac{(\sqrt{3}-1)\cdot a}{2}[/tex]

$$ CD= 2x= 2\cdot \frac{(\sqrt{3}-1)\cdot a}{2}=(\sqrt{3}-1)\cdot a $$

[Гост]

mnogo blagodarq