Ъглополовящи в триъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\triangle[/tex] ABC, в който ъглополовящите AL (L лежи BC) и CN (N лежи на AB) се пресичат в точката O. Ако AC=18, BN=8 и AN=AO, да се намерят страните AB и BC на триъгълника.

Тръгнах с означение на ъгли и тригонометрия, и косинусова теорема, но накрая получавам доста неприятно уравнение от 4-та степен с големи числа... дали има някакво по-лесно решение, може ли да ударите рамо?

[Евва]

Получих АВ=14 ,ВС=24 .
Греша ли ?

[math10.com]

pt.png (54.01 KiB) Прегледано 1580 пъти

[tex]\angle AOC=90 ^\circ +\frac{ \beta }{2}[/tex] това е основна задача от 7 клас (доказвал съм я няколко пъти във форума)[tex]\Rightarrow \angle АОН=90 ^\circ - \frac{ \beta }{2}[/tex]

[tex]AO=AN[/tex] по условие [tex]\Rightarrow \triangle AON[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow AON= \angle ANO=90 ^\circ - \frac{ \beta }{2} \Rightarrow \angle OAN= \angle OAC= \beta[/tex]

[tex]\Rightarrow \triangle ALB[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow AL=BL=a-x[/tex]

[tex]\Rightarrow \triangle ALC \approx \triangle ABC[/tex] по 1-ви признак

[tex]\Rightarrow \frac{a-x}{c}= \frac{x}{18}= \frac{18}{a} \Rightarrow x= \frac{324}{a} \Rightarrow a-x= \frac{a^2-324}{a} \Rightarrow c= \frac{a^2-324}{18}= \frac{(a-18)(a+18)}{18}[/tex]

Сега от формулата за отношение при ъглополовящи [tex]\Rightarrow \frac{c-8}{18}= \frac{8}{a} \Rightarrow c= \frac{8(a+18)}{a}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{8(a+18)}{a}=\frac{(a-18)(a+18)}{18} \Rightarrow a^2-18a-144=0 \Rightarrow a=24[/tex] другата стойнос [tex]a=-6[/tex] не може да е страна на триъгълник

[tex]\Rightarrow c=\frac{8(24+18)}{24}=14[/tex]

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]BAL=[tex]\angle[/tex]CAL=[tex]\alpha[/tex] .
BC=a=? AB=c=?
Дадено е ,че [tex]\triangle[/tex]ANO е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AON=[tex]\angle[/tex]ANO=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
Съседните им [tex]\angle[/tex]АОС=[tex]\angle[/tex]ВNС=90[tex]^\circ[/tex]+ [tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]AOC) [tex]\angle[/tex]ACO=[tex]\angle[/tex]ACN=180[tex]^\circ[/tex]- ([tex]\alpha[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ) ; [tex]\angle[/tex]ACO=90[tex]^\circ[/tex]- [tex]\frac{3 \alpha }{2}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]NBC) [tex]\angle[/tex]NBC=180[tex]^\circ[/tex]- (90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]- [tex]\frac{3 \alpha }{2}[/tex] ) ; [tex]\angle[/tex]NBC=[tex]\alpha[/tex]

[tex]\triangle[/tex]AOC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NBC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BN}{AO}[/tex]=[tex]\frac{CN}{CO}[/tex] ; [tex]\frac{8}{c-8}[/tex] =[tex]\frac{CO+NO}{CO}[/tex] ;[tex]\frac{8}{c-8}[/tex]= 1+[tex]\frac{NO}{CO}[/tex]

[tex]\frac{8}{c-8}[/tex]=1+[tex]\frac{AN}{AC}[/tex] ; [tex]\frac{8}{c-8}[/tex]=1+[tex]\frac{c-8}{18}[/tex]
Получаваме [tex]с^{2 }[/tex]+2с-224=0 ; к=1 ,D=1+224=225
[tex]c_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-1 \pm 15 }{1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c=14

Намираме AN=c-8=6 .
CN е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\frac{AN}{BN}[/tex]=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex] ; [tex]\frac{6}{8}[/tex]=[tex]\frac{18}{BC}[/tex] ; BC=a=24

[Гост]

Благодаря Ви! Проследяването на ъглите правилно съм го направил, обаче това, което ми е убягнало е, че мога да използвам подобието.