Конкурс СУ"Климент Охридски" - 2003г. 2 -ра задача

[S.B.]

Даден е успоредник $ABCD ( AB>BC)$ с диагонали [tex]AC = 2\sqrt{5}[/tex] и [tex]BD = 2 \sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD }=6[/tex]
Да се намери радиуса на окръжността , минаваща през върховете $A$ и $B$ и допираща се до $CD$.

[ammornil]

Даден е успоредник $ABCD ( AB>BC)$ с диагонали [tex]AC = 2\sqrt{5}[/tex] и [tex]BD = 2 \sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD }=6[/tex]
Да се намери радиуса на окръжността , минаваща през върховете $A$ и $B$ и допираща се до $CD$.

Screenshot 2023-04-19 151142.png (49.95 KiB) Прегледано 1575 пъти

[tex]AC \cap BD = O, AO=OC=\sqrt{5}, BO=OD=\sqrt{2}, \angle{BOC}=\phi < 90^{\circ}[/tex]
[tex]\sin{\phi}=\frac{2\cdot{S_{ABCD}}}{d_{1}\cdot{d_{2}}}=\frac{2\cdot{6}}{2\sqrt{5}\cdot{2\sqrt{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex]
[tex]\cos{\phi}=\sqrt{1-\sin^{2}{\phi}}=\frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow \cos{\angle{AOB}}=\cos{(180^{\circ}-\phi)}=-\cos{\phi}=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]
[tex]\triangle{AOB} \hspace{1em} \text{кос. т-ма }: AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2\cdot{AO}\cdot{BO}\cdot{\cos{\angle{AOB}}}=5+2+2\cdot{\sqrt{5}}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{\frac{\sqrt{10}}{10}}=9 \Rightarrow AB=CD=3[/tex]
[tex]\triangle{BOC} \hspace{1em} \text{кос. т-ма }: BC^{2}=CO^{2}+BO^{2}-2\cdot{CO}\cdot{BO}\cdot{\cos{\angle{COB}}}=5+2-2\cdot{\sqrt{5}}\cdot{\sqrt{2}}\cdot{\frac{\sqrt{10}}{10}}=5 \Rightarrow BC=AD=\sqrt{5}[/tex]

Нека търсената окръжност е с център [tex]O_{1}[/tex] и се допира до [tex]CD[/tex] в точка [tex]E \Rightarrow O_{1}E \bot CD[/tex]. Нека [tex]EF[/tex] е диаметърът, който съдържа радиуса [tex]O_{1}E[/tex].
[tex]\Rightarrow EF \bot CD, AB\|CD \Rightarrow EF \bot AB, EF \cap AB = G[/tex]- диаметър перпендикулярен на хорда я разполовява [tex]\Rightarrow AG=BG=\frac{3}{2}, EG=h_{успоредника}[/tex]

[tex]EG=\frac{S_{ABCD }}{AB}=2[/tex]

[tex]S_{AEB}=\frac{1}{2}\cdot{S_{ABCD }}=3[/tex]

[tex]\triangle{AGE} \cong \triangle{BGE} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ AG=BG \\ EG-\text{обща} \end{cases} \Rightarrow AE=BE[/tex]
[tex]\triangle{BGE} \rightarrow BE^{2}=BG^{2}+EG^{2}=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4} \Rightarrow BE=AE=\frac{5}{2}[/tex]

[tex]S_{AEB}=\frac{AB\cdot{AE}\cdot{BE}}{4\cdot{R}} \Rightarrow R=\frac{AB\cdot{AE}\cdot{BE}}{4\cdot{S_{AEB}}}=\frac{3\cdot{\frac{5}{2}}\cdot{\frac{5}{2}}}{4\cdot{3}}=\frac{25}{16}[/tex]

Забелажка: Може да съм объркал някое изчисление в бързането, но принципно това е едно възможно решение.

[S.B.]

Искам само да споделя как аз по - семпло намирам радиуса
Ще използвам означенията на Вашия чертеж:
[tex]EF\cap AB = G[/tex]
[tex]EG = h = 2 , EF = 2R \Rightarrow GF = 2R - 2[/tex]
Според свойството на пресичащите се хорди [tex]\rightarrow[/tex]
[tex]EG.GF = AG.GB \Leftrightarrow 2(2R - 2) = \frac{3}{2}. \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4(R - 1) = \frac{9}{4} \Leftrightarrow R - 1 = \frac{9}{16} \Rightarrow R = \frac{25}{16}[/tex]