Предварителен изпит ТУ - София-2023

[Гост]

Измъчи ме тази задача и затова търся помощ. Условието на задачата е следното:
Отсечките AP и CQ са височини в остроъгълен триъгълник АВС. Разстоянието от ортоцентъра на триъгълник АВС до страната АС е 5 cm, а радиусът на описаната около триъгълник PQB окръжност е 9 cm. Дължината на височинатка BF (точка F лежи на АС) е:

[S.B.]

Измъчи ме тази задача и затова търся помощ. Условието на задачата е следното:
Отсечките AP и CQ са височини в остроъгълен триъгълник АВС. Разстоянието от ортоцентъра на триъгълник АВС до страната АС е 5 cm, а радиусът на описаната около триъгълник PQB окръжност е 9 cm. Дължината на височинатка BF (точка F лежи на АС) е:

Без заглавие - 2023-04-27T104937.503.png (206.42 KiB) Прегледано 1756 пъти

[tex]AP \cap CQ = H \Rightarrow H[/tex] е ортоцентър и [tex]H \in BF \bot AC \Rightarrow HF = 5[/tex]
Около $QBPH$ може да се опише окръжност, [tex]\angle HQB = \angle HPB = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle HQB[/tex] и [tex]\triangle HPB[/tex] са правоъгълни с обща хипотенуза $HB$
Окръжността описана около $QBPH$ е с център $O$ върху тази хипотенуза и [tex]R = \frac{HB}{2} = 9 \Rightarrow HB = 18[/tex]
$BF = HF + HB$ [tex]\Leftrightarrow BF = 5 + 18[/tex]
$$\Rightarrow BF = 23$$