Изпит ТУ - 17.06.2023

[Гост]

Ще съм благодарен, ако някой помогне за решаването на зад. №30 от Технически университет – 17.06.2023. Условието е следното:
Върху трите страни на триъгълник ABC са фиксирани съответно една, две и три различни точки, несъвпадащи с върховете на триъгълника. От всички триъгълници, с върхове тези точси, по случаен начин е избран един триъгълник. Да се намери вероятността върховете на избрания триъгълник да лежан върху различни страни на триъгълник АВС.

[ammornil]

Ще съм благодарен, ако някой помогне за решаването на зад. №30 от Технически университет – 17.06.2023. Условието е следното:
Върху трите страни на триъгълник ABC са фиксирани съответно една, две и три различни точки, несъвпадащи с върховете на триъгълника. От всички триъгълници, с върхове тези точси, по случаен начин е избран един триъгълник. Да се намери вероятността върховете на избрания триъгълник да лежан върху различни страни на триъгълник АВС.

Screenshot 2023-07-03 074848.png (40.97 KiB) Прегледано 1613 пъти

Нека са взети три точки върху страната [tex]AB[/tex] (оцветените в синьо), две точки върху страната [tex]BC[/tex] (оцветените в жълто) и една точка върху страната [tex]AC[/tex] (червената точка).
Нека отсечките свърващи синя с червенаточка са лилави, червена с жълта точка са оранжеви, и жълта със синя точка са светло-зелена или тъмно-зелена за всяка от жълтите точки.
Сините точки образуват три отсечки помежду си. Всяка такава отсечка образува един триъгълник с две лилави страни, това са три триъгълника. [tex]\fbox{3}[/tex]
Сините точки образуват три отсечки помежду си. Всяка такава отсечка образува по един триъгълник със всяка от жълтите точки, с две еднакво зелени страни, това са шест триъгълника. [tex]\fbox{6}[/tex]
Жълтите точки образуват един триъгълник с червената точка (оранжеви страни) и по един със всяка от сините точки (различно зелени страни), общо четири триъгълника. [tex]\fbox{4}[/tex]
Имаме и шест триъгълника, които имат по една оранжева, една зелена и една лилава страна. [tex]\fbox{6}[/tex]. Това са тригълниците с върхове, лежащи на различни страни на първоначалния триъгълник.
Общо триъгълниците са [tex]3+6+4+6=19[/tex]. Тогава вероятността е [tex]\frac{6}{19}[/tex]
Вместо с цветове, може да направите отсечкте на чертежа различни по вид линии (по-дебели и по-тъни прекъснати, прекъснати с точка, непрекъснати и т.н.) според това точки от кои страни свързват помежду си.

[ptj]

И аз получих същия отговор, но не бях сигурен дали авторите са махнали от решението изродения триъгълник (когато трите точки лежат на една и съща страна).

Възможните триъгълници с върхове измежду 6-те точки са [tex]C_6^3 -1= \frac{6!}{3!(6-3)!} -1=19[/tex].

От тях триъгълниците с върхове лежащи и на трите страни са [tex]1.2.3=6[/tex].

Търсената вероятност е [tex]p= \frac{6}{19}[/tex].