Изпит ТУ - 17.06.2023

[Гост]

Дъщерята не е успяла да реши тази задача. Може ли някой да помогне!
Задачата е от ТУ - 17.06.2023
Условието е

tu-zad29.png (5.33 KiB) Прегледано 1713 пъти

[ammornil]

Според мен решението е нещо такова...
[tex]\text{ДМ } : 4-x^{2}\ge 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)\le 0 \Rightarrow x \in [-2;2][/tex]
За да бъде лявата страна равна на дясната, степенният показател трябва да е нула или основата на степента да е равна на едно.
[tex]2\cos^{2}{x}-\cos{x}-1=0, \hspace{1.2em} \cos{x}=u \Rightarrow \text{Дu: }u \in [-1;1] \rightarrow 2u^{2}-u-1=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{1\pm3}{2} \rightarrow \begin{cases} u_{1}=2 \notin \text{Дu } \\ u_{2}=-1 \in \text{Дu } \end{cases} \Rightarrow[/tex]

[tex]\cos{x}=-1 \Rightarrow (k\in Z): x=\pm (2k+1)\pi \notin \text{ДМ } \because -\pi < -2 < 2 < \pi[/tex]

[tex]\sqrt{4-x^{2}}=1 \Rightarrow 4-x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3} \in \text{ДМ } \because -2 < -\sqrt{3} < \sqrt{3} < 2[/tex]

$$ x=\pm \sqrt{3} $$

[Гост]

Според мен в отговорите на u има грешка, защото в знаменател имаме 4, а не 2 и затова в крайните решения трябва да се добави още едно решение, а именно x = 0.

[ammornil]

Според мен в отговорите на u има грешка, защото в знаменател имаме 4, а не 2 и затова в крайните решения трябва да се добави още едно решение, а именно x = 0.

Правилно. Благодаря Ви за корекцията.

[tex]\text{ДМ } : 4-x^{2}\ge 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)\le 0 \Rightarrow x \in [-2;2][/tex]
За да бъде лявата страна равна на дясната, степенният показател трябва да е нула или основата на степента да е равна на едно.
[tex]2\cos^{2}{x}-\cos{x}-1=0, \hspace{1.2em} \cos{x}=u \Rightarrow \text{Дu: }u \in [-1;1] \rightarrow 2u^{2}-u-1=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{1\pm3}{4} \rightarrow \begin{cases} u_{1}=1 \in \text{Дu } \\ u_{2}=-\frac{1}{2} \in \text{Дu } \end{cases} \Rightarrow[/tex]

[tex]\cos{x}=1 \Rightarrow (k\in Z): x=\pm 2k\pi \cap \text{ДМ } \Rightarrow x=0 \because -2<0<2[/tex]

[tex]\cos{x}=\frac{1}{2} \Rightarrow (k\in Z): x=\pm\frac{2\pi}{3} \pm 2k\pi \cap \text{ДМ } \Rightarrow \varnothing \because -\frac{2\pi}{3}<-2<2<\frac{2\pi}{3}[/tex]

[tex]\sqrt{4-x^{2}}=1 \Rightarrow 4-x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3} \in \text{ДМ } \because -2 < -\sqrt{3} < \sqrt{3} < 2[/tex]

$$ x=0 \cup x=\pm \sqrt{3} $$