Логаритмично уравнение с параметър

[S.B.]

Дадено е уравнението:
$$(m - 2) \log_{2 } ^{2 }x - 4m \log_{2 }x + 2m - 6 = 0 $$
в което $m$ е реален параметър.
Да се определи $m$ така,че уравнението да има два различни реални корена [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex],които да принадлежат на интервала $(0 , 4)$

[ammornil]

[tex](m - 2)\cdot \log^{2}_{2}{x} - 4m\cdot \log_{2}{x} + 2m - 6 = 0, \hspace{1.2em} \because \exists (x_{1}, x_{2}) \in R \cap x_{1}\ne x_{2} \Rightarrow m \in ?[/tex]
Допускаме, че за [tex]m[/tex] се изисква: [tex]m \in R[/tex]
Аз предлагам следния подход:
[tex]\exists (x_{1}, x_{2}) \in R \Rightarrow (m-2) \ne 0 \Rightarrow m\ne 2[/tex]
[tex]\text{Дx: } x \in (0; 4)[/tex]
[tex]\log_{2}{x}=u \Rightarrow u \in (-\infty;2) \rightarrow (m-2)\cdot{u^{2}}-4m\cdot{u}+2m-6=0[/tex]

[tex]\exists (x_{1}, x_{2}) \in R \cap x_{1}\ne x_{2} \Rightarrow \exists (u_{1}, u_{2}) \in R \cap u_{1}\ne u_{2} \Rightarrow (-2m)^{2}-(m-2)(2m-6)>0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4m^{2}-2m^{2}+6m+4m-12>0 \Leftrightarrow m^{2}+5m-6>0 \Leftrightarrow m_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2} \rightarrow \begin{cases} m_{1}=1 \\ m_{2}=-6 \end{cases} \Rightarrow[/tex]
[tex](m-1)(m+6)>0 \Rightarrow m \in (-\infty,-6) \cup (1;+\infty)[/tex]
[tex]m \in (-\infty,-6) \cup (1;+\infty) \cap m\ne 2 \Rightarrow m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty)[/tex]

$$-\infty<u_{1}<u_{2}<2 \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty) \\ (m-2)\cdot[(m-2)\cdot 2^{2}-4m\cdot 2+2m-6]>0 \\-\frac{\normalsize{-4m}}{\normalsize{2\cdot{(m-2)}}}<2 \end{array}$$

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l}m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty) \\ (m-2)\cdot(-2m-17)>0 \\\frac{\normalsize{2m}}{\normalsize{m-2}}<2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty) \\ -2\cdot(m-2)\cdot(m+7)>0 \\ \frac{\normalsize{2m-2\cdot (m-2)}}{\normalsize{m-2}} < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty) \\ (m-2)\cdot(m+7)<0 \\ \frac{\normalsize{4}}{\normalsize{m-2}} < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty,-6) \cup (1;2) \cup (2;+\infty) \\ m \in (-7; 2) \\ m \in (-\infty; 2) \end{array} \Rightarrow[/tex] $$ m \in (-7; -6) $$

[S.B.]

Отговорът е :
$$m \in ( - 7;- 6) \cup (1;2)$$

[ammornil]

Да правилно, опитах се да направя интервалите на ум и пропуснах малкия участък от дясно.