Меню
Мартине, прочетох ти поста за учителя по математика.
Уви, надали можеш да направиш нещо. Като за начало ще ти предложа една задача и ако я решиш и ти хареса, ще пускам още.
Да се реши неравенството:
[tex](2^x+\frac{1}{2 } \sqrt{1-2^{x+1}}) ^{log_2\frac{3}{8 } x^2-log_2(x+2)}>1[/tex]
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
неравенство
3 мнения
• Страница 1 от 1
Re: неравенство
от Martin Nikovski » 21 Сеп 2010, 17:45
Е... ще опитам. 
[tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>1[/tex]
Първо определяме дефиниционно множество:
[tex]\cyr{DM}:[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}1-2^{x+1}\ge 0\\\frac{3}{8 }x^2>0\ (\cyr{za vsyako}\ x\in R)\\ x+2>0 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2^{x+1}\le 1\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2^{x+1}\le 2^0\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x+1\le 0\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x\le -1\\ x>-2 \end{tabular}[/tex]
Окончателно [tex]\cyr{DM}:[/tex] [tex]x\in \left(-2;-1\right][/tex]
В неравенството представяме [tex]1[/tex] като [tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex], като трябва да сме сигурни, че [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ne 0[/tex] (не може да получим израз от вида [tex]0^0[/tex])
[tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex], тъй като [tex]2^x>0[/tex] и [tex]\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ge 0[/tex], т.е. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ne0[/tex].
[tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex]
Разглеждаме два случая:
1. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>1-2^x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{1-2^{x+1}}>2-2^{x+1}[/tex]
За по-кратки изчисления полагаме [tex]1-2^{x+1}=t[/tex]
От [tex]\cyr{DM}[/tex]: [tex]x\in \left(-2;-1\right][/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t\in \left[1-2^{-1+1};1-2^{-2+1}\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t\in \left[0;\frac{1}{2 }\right)[/tex]
[tex]\sqrt t>t+1[/tex]
Тъй като и двете страни са със сигурност неотрицателни, ги вдигаме на втора степен.
[tex]t>t^2+2t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t^2+t+1<0[/tex], което не е изпълнено за никоя реална стойност на [tex]t[/tex].
2. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\in\left(0;1\right)[/tex]
[tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>0[/tex] (по доказателство) [tex]\Rightarrow[/tex] остава само неравенството [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}<1[/tex]
[tex]\sqrt{1-2^{x+1}}<2-2^{x+1}[/tex]
Отново полагаме [tex]1-2^{x+1}=t[/tex], [tex]t\in\left[0;\frac{1}{2}\right)[/tex]
[tex]\sqrt t<t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t<t^2+2t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t^2+t+1>0[/tex], което е изпълнено за всяко [tex]t \in R[/tex].
Връщаме се в първоначалното неравенство: [tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex]
Тъй като вече сме сигурни, че [tex]2^x+\frac{1}{2 } \sqrt{1-2^{x+1}}\in (0;1)[/tex], то разглеждаме само степенните показатели, като СМЕНЯМЕ знака на неравенството.
[tex]log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2\left(x+2\right)<0[/tex]
[tex]log_2\frac{3x^2}{8\left(x+2\right) } <0[/tex]
Антилогаритмуваме, т.е. представяме двете страни като степенни показатели на степени с една и съща основа.
[tex]2^{log_2\frac{3x^2}{8\left(x+2\right) }} <2^0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2}{8(x+2) }<1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2}{8(x+2) }-1<0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2-8x-16}{8(x+2) }<0[/tex]
Щом частното на два израза е отрицателно, то те са с различни знаци... Следователно произведението им също е отрицателно.
[tex]8\left(3x^2-8x-16\right)\left(x+2\right) <0[/tex]
Разлагаме многочлена [tex]3x^2-8x-16[/tex] на [tex]3\left(x-4\right)\left(x+\frac{4}{3 } \right)[/tex].
[tex]24\left(x-4\right)\left(x+\frac{4}{3 } \right)\left(x+2\right) <0[/tex] [tex]/:24[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in\left(-\infty;-2\right)\ \cup\ \left(-\frac{4}{3 };4\right)[/tex]
Намираме сечението на това решение с [tex]\cyr{DM}[/tex] и получаваме окончателен отговор [tex]x\in \left(-\frac{4}{3};-1\right][/tex].
П.П. Извинете, че е толкова подробно, но просто ако ми хареса някоя задача, обичам хубаво да я разписвам...
[tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>1[/tex]
Първо определяме дефиниционно множество:
[tex]\cyr{DM}:[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}1-2^{x+1}\ge 0\\\frac{3}{8 }x^2>0\ (\cyr{za vsyako}\ x\in R)\\ x+2>0 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2^{x+1}\le 1\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2^{x+1}\le 2^0\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x+1\le 0\\ x>-2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x\le -1\\ x>-2 \end{tabular}[/tex]
Окончателно [tex]\cyr{DM}:[/tex] [tex]x\in \left(-2;-1\right][/tex]
В неравенството представяме [tex]1[/tex] като [tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex], като трябва да сме сигурни, че [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ne 0[/tex] (не може да получим израз от вида [tex]0^0[/tex])
[tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex], тъй като [tex]2^x>0[/tex] и [tex]\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ge 0[/tex], т.е. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\ne0[/tex].
[tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex]
Разглеждаме два случая:
1. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>1-2^x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{1-2^{x+1}}>2-2^{x+1}[/tex]
За по-кратки изчисления полагаме [tex]1-2^{x+1}=t[/tex]
От [tex]\cyr{DM}[/tex]: [tex]x\in \left(-2;-1\right][/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t\in \left[1-2^{-1+1};1-2^{-2+1}\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t\in \left[0;\frac{1}{2 }\right)[/tex]
[tex]\sqrt t>t+1[/tex]
Тъй като и двете страни са със сигурност неотрицателни, ги вдигаме на втора степен.
[tex]t>t^2+2t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t^2+t+1<0[/tex], което не е изпълнено за никоя реална стойност на [tex]t[/tex].
2. [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\in\left(0;1\right)[/tex]
[tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}>0[/tex] (по доказателство) [tex]\Rightarrow[/tex] остава само неравенството [tex]2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}<1[/tex]
[tex]\sqrt{1-2^{x+1}}<2-2^{x+1}[/tex]
Отново полагаме [tex]1-2^{x+1}=t[/tex], [tex]t\in\left[0;\frac{1}{2}\right)[/tex]
[tex]\sqrt t<t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t<t^2+2t+1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t^2+t+1>0[/tex], което е изпълнено за всяко [tex]t \in R[/tex].
Връщаме се в първоначалното неравенство: [tex]\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^{log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2(x+2)}>\left(2^x+\frac{1}{2 }\sqrt{1-2^{x+1}}\right)^0[/tex]
Тъй като вече сме сигурни, че [tex]2^x+\frac{1}{2 } \sqrt{1-2^{x+1}}\in (0;1)[/tex], то разглеждаме само степенните показатели, като СМЕНЯМЕ знака на неравенството.
[tex]log_2\frac{3}{8 }x^2-log_2\left(x+2\right)<0[/tex]
[tex]log_2\frac{3x^2}{8\left(x+2\right) } <0[/tex]
Антилогаритмуваме, т.е. представяме двете страни като степенни показатели на степени с една и съща основа.
[tex]2^{log_2\frac{3x^2}{8\left(x+2\right) }} <2^0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2}{8(x+2) }<1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2}{8(x+2) }-1<0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3x^2-8x-16}{8(x+2) }<0[/tex]
Щом частното на два израза е отрицателно, то те са с различни знаци... Следователно произведението им също е отрицателно.
[tex]8\left(3x^2-8x-16\right)\left(x+2\right) <0[/tex]
Разлагаме многочлена [tex]3x^2-8x-16[/tex] на [tex]3\left(x-4\right)\left(x+\frac{4}{3 } \right)[/tex].
[tex]24\left(x-4\right)\left(x+\frac{4}{3 } \right)\left(x+2\right) <0[/tex] [tex]/:24[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in\left(-\infty;-2\right)\ \cup\ \left(-\frac{4}{3 };4\right)[/tex]
Намираме сечението на това решение с [tex]\cyr{DM}[/tex] и получаваме окончателен отговор [tex]x\in \left(-\frac{4}{3};-1\right][/tex].
П.П. Извинете, че е толкова подробно, но просто ако ми хареса някоя задача, обичам хубаво да я разписвам...
Последна промяна Martin Nikovski на 21 Сеп 2010, 22:45, променена общо 2 пъти
-
Martin Nikovski - Математиката ми е страст
- Мнения: 518
- Регистриран на: 04 Юли 2010, 16:08
- Местоположение: България, София
- Рейтинг: 40
- ganka simeonova
3 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google Adsense [Bot], Google [Bot]