Задача с триъгълник (ТУ 30.03.2019 задача 28)

[Гост]

Здравейте бих се радвал да помогнете със следната задача:

Даден е триъгълник ABC с AC = 9 см и BC = 12 см. Върху страната AB е избрана точка D
така, че CD = 6 см и окръжността, минаваща през точките A ,C,и D, се допира до правата BC. Да се намери дължината на отсечката BD.

[S.B.]

Здравейте бих се радвал да помогнете със следната задача:

Даден е триъгълник ABC с AC = 9 см и BC = 12 см. Върху страната AB е избрана точка D
така, че CD = 6 см и окръжността, минаваща през точките A ,C,и D, се допира до правата BC. Да се намери дължината на отсечката BD.

Без заглавие (16).png (255.64 KiB) Прегледано 1503 пъти

[tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta ,DB = x[/tex]
Окръжността минава през точките $A,D,C$ и се допира до $BC$, [tex]\Rightarrow[/tex] се допира в т.$C$
[tex]\angle CAD = \alpha[/tex] е вписан и се измерва с дъгата $CD$, [tex]\angle DCB[/tex] е периферен и се измерва също с дъгата $CD$ [tex]\Rightarrow \angle DCB = \alpha , \angle CDB = 180 ^\circ - ( \alpha + \beta) \Rightarrow \angle ADC = \alpha + \beta[/tex]

За [tex]\triangle ADC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{CD}{\sin \alpha } = \frac{AC}{\sin ( \alpha + \beta )} \Leftrightarrow \frac{6}{\sin \alpha } = \frac{9}{\sin ( \alpha + \beta )}[/tex]
$$\Rightarrow \sin ( \alpha + \beta) = \frac{3}{2}\sin \alpha $$
За [tex]\triangle DBC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{\sin (180 ^\circ -( \alpha + \beta)) } = \frac{CD}{\sin \beta } \Leftrightarrow \frac{12}{\sin ( \alpha + \beta) } = \frac{6}{\sin \beta }[/tex]
$$\Rightarrow \sin ( \alpha + \beta ) = 2\sin \beta $$
[tex]\begin{cases} \sin( \alpha + \beta ) = \displaystyle\frac{3}{2}\sin \alpha \\ \sin ( \alpha+ \beta) = 2\sin \beta \end{cases} \Rightarrow \sin \beta = \displaystyle\frac{3}{4}\sin \alpha[/tex]

За [tex]\triangle DBC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{DB}{\sin \alpha } = \displaystyle\frac{CD}{\sin \beta } \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sin \alpha } =\displaystyle \frac{6}{\sin \beta } \Leftrightarrow x =\displaystyle \frac{6\sin \alpha }{\sin \beta } \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{6\sin \alpha }{ \displaystyle\frac{3}{4}\sin \alpha } = 8[/tex]
$$\Rightarrow DB = 8$$

[Евва]

Може да се реши и чрез подобни триъгълници .

[S.B.]

Може да се реши и чрез подобни триъгълници .

Вярно!И става буквално с 2 реда!