Ъглополовяща във вписан правоъгълен триъгълник

[Гост]

В окъжност е вписан правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] с катети $AC =b, BC= a , a>b$ и [tex]\angle ACB = 90 ^\circ[/tex]
Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] пресича страната $AB$ в т.$L$ и окръжността в т.$K$
Да се определят [tex]CL , LK , S_{ \triangle ALK}[/tex]

Моля за помощ!

[Гост]

Ъглополовяща във вписан правоъгълен триъгълник-page-001.jpg (181.47 KiB) Прегледано 1504 пъти

Ъглополовяща във вписан правоъгълен триъгълник-page-002.jpg (87.99 KiB) Прегледано 1504 пъти

[S.B.]

В окъжност е вписан правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] с катети $AC =b, BC= a , a>b$ и [tex]\angle ACB = 90 ^\circ[/tex]
Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] пресича страната $AB$ в т.$L$ и окръжността в т.$K$
Да се определят [tex]CL , LK , S_{ \triangle ALK}[/tex]

Моля за помощ!

Без заглавие - 2024-01-24T210214.916.png (242.22 KiB) Прегледано 1459 пъти

Ето и още един поглед върху задачата
[tex]AC = b , BC = a , a>b , \angle CAB = \alpha ,CL = l_{c }, AL = m,BL = n[/tex]
[tex]AB = \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } }[/tex] ( по Питагорова теорема)
[tex]\sin \alpha = \frac{a}{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }, \cos \alpha = \frac{b}{ \sqrt{ a^{2 } + b{2 } } }[/tex]

[tex]S_{ABC } = S_{ALC } + S_{BLC } \Leftrightarrow \frac{ab}{2} = \frac{a .l_{c } }{2}\sin 45 ^\circ + \frac{b .l_{c } }{2}\sin 45 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ab}{2} = \frac{ l_{c } }{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} (a + b) \Leftrightarrow ab = l_{c } \frac{ \sqrt{2} }{2}(a + b)[/tex]
$$\Rightarrow LC = l_{c }= \frac{ab \sqrt{2} }{a + b}$$

Симетралата на $AB $ и ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex] се пресичат в т.$K$ от окръжността,
[tex]\Rightarrow \triangle AKB[/tex] е равнобедрен,правоъгълен и [tex]AO = OK = BO = \frac{AB}{2} = \frac{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } }{2}[/tex]
От [tex]\triangle LOK[/tex] имаме [tex]\frac{OK}{LK} = \sin \angle OLK \Leftrightarrow LK = \frac{OK}{\sin \angle OLK }[/tex]
[tex]\angle OLK = \angle ALC = 135 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\sin(135 ^\circ - \alpha) = \sin 135 ^\circ.\cos \alpha - \cos 135 ^\circ.\sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha + \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) =[/tex]
[tex]= \frac{ \sqrt{2} }{2}( \frac{a}{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } }+ \frac{b}{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } )= \frac{(a + b) \sqrt{2} }{2 \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }[/tex]

[tex]LK = \displaystyle \frac{OK}{\sin \angle OLK} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{2} }{\displaystyle \frac{(a + b) \sqrt{2} }{2 \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } }[/tex]
$$\Rightarrow LK = \frac{ a^{2 }+ b^{2 } }{(a+b) \sqrt{2} } $$

От сввойството на ъглополовящата имаме: [tex]\frac{m}{n} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow n = m \frac{a}{b}[/tex]
[tex]n + m = \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } \Leftrightarrow m \frac{a}{b} + m = \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } \Leftrightarrow m(1 + \frac{a}{b}) = \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } \Leftrightarrow m \frac{a + b}{b} = \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex]
[tex]\Rightarrow AL = m = \frac{b \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{a + b}[/tex]
[tex]S_{ALK } = \frac{AL.OK}{2} \Leftrightarrow S_{ALK } = \frac{1}{2}. \frac{b \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{a + b}. \frac{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ALK } = \frac{b( a^{2 } + b^{2 }) }{4(a + b)}$$