Задачи от техническия

[Гост]

Здравейте, може ли да ми помогнете със следните задачи:
1) Пирамида има за основа равностранен триъгълник със страна a. Два от околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex]. Търси се височината на пирамидата.
2) В кълбо с радиус 4 см. е вписан цилиндър. Диагоналът на осното сечение на цилиндъра сключва с оста на цилиндъра ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Иска се да се намери обема на цилиндъра.
3) Периметърът на ромб е Р, а отношението на дължините на диагоналите му е [tex]\lambda[/tex]. Да се намери лицето на ромба.
4) Върху трите страни на триъгълника ABC са фиксирани съответно една, две и три различни точки, несъвпадащи с върховете на триъгълника. От всички триъгълници, с върхове тези точки, по случаен начин е избран един триъгълник. Да се намери вероятността върховете на избрания триъгълник да лежат върху различни страни на триъгълника ABC.
Ще се радвам на вашето съдействие

[S.B.]

1) Пирамида има за основа равностранен триъгълник със страна a. Два от околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex]. Търси се височината на пирамидата

Без заглавие - 2024-03-15T095249.405.png (347.19 KiB) Прегледано 1583 пъти

Нека т.$D$ се проектира в т.$H$ върху равнината на основата - равностранния [tex]\triangle ABC , DH = h[/tex]
$AH =x$ и $BH=x$ са проекциите съответно на околните ръбове $AD$ и $BD$
[tex]\angle DAH = \angle DBH = \varphi[/tex]
[tex]\frac{DH}{AH} = \frac{DH}{BH} = \tg \varphi \Leftrightarrow \frac{h}{x} = \tg \varphi \Rightarrow h = x\tg \varphi[/tex]
$MH=y$ е проекцията на апотемата $DM$ на стената $(ABD)$ върху равнината на основата.
[tex]\angle DMH \alpha[/tex]
[tex]\frac{DH}{MH} = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{y}= \tg \alpha \Rightarrow h = y\tg \alpha[/tex]
За [tex]\triangle AMH[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AH^{2 } - MH^{2 } = AM^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } - y^{2 } = ( \frac{a}{2}) ^{2 } \Rightarrow x^{2 }- y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} h = x\tg \varphi \\ h = y\tg \alpha \\ x^{2 } - y^{2 } = \displaystyle\frac{ x^{2 } }{4} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\tg \varphi = y\tg \alpha \\ x^{2 }- y^{2 } = \displaystyle \frac{ a^{2 } }{4} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y\displaystyle \frac{\tg \alpha }{\tg \varphi } \\ x^{2 } - y^{2 } = \displaystyle \frac{ a^{2 } }{4} \end{array} \Leftrightarrow (y\displaystyle \frac{\tg \alpha }{\tg \varphi } )^{2 } - y^{2 } = \displaystyle \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
(Знаеш защо $M$ е среда на $AB$ и [tex]AM = MB = \frac{a}{2}[/tex])

[tex]y^{2 } \frac{ \tg^{2 } \alpha }{ tg^{2 } \varphi } - y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow y^{2 }( \frac{ \tg^{2 } \alpha - \tg^{2 } \varphi }{ \tg^{2 } \varphi })= \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow y^{2 } = \frac{ a^{2 } \tg^{2 } \varphi }{4( tg^{2 } \alpha - \tg ^{2 } \varphi )}[/tex]
$$\Rightarrow y = \frac{a\tg \varphi }{2 \sqrt{ tg^{2 } \alpha - \tg^{2 } \varphi } } $$
$$h = y\tg \alpha \Rightarrow h = \frac{a\tg \varphi \tg \alpha }{2 \sqrt{ \tg^{2 } \alpha - \tg^{2 } \varphi } }$$

Скрит текст: покажи

Предполагам,че се досещаш защо [tex]\tg \alpha > \tg \varphi[/tex] и подкоренната величина е положителна?

[S.B.]

Здравейте, може ли да ми помогнете със следните задачи:
2) В кълбо с радиус 4 см. е вписан цилиндър. Диагоналът на осното сечение на цилиндъра сключва с оста на цилиндъра ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Иска се да се намери обема на цилиндъра.

Без заглавие - 2024-03-15T154054.192.png (220.04 KiB) Прегледано 1582 пъти

Сечението на цилиндъра е правоъгълникът $ABCD$ вписан в голямата окръжност на сферата,
с диагонали $AC = BD = 8$ (Досещаш се защо,нали?)
Оста на цилиндъра пресича горната и долната му основи съответно в т.$P$ и $Q$ , $PC = QB = R, BC = h$
[tex]\angle POC = 60 ^\circ \Rightarrow \angle DOC = 120 ^\circ[/tex] а [tex]\angle COB = 60 ^\circ[/tex] (Защо?)
За правоъгълния [tex]\triangle OCP \rightarrow \frac{PC}{OC} = \cos 60 ^\circ \Leftrightarrow PC = 4 \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow PC = R = 2 \sqrt{3} $$
[tex]\triangle BOC[/tex] е равностранен (равнобедрен с ъгъл [tex]60^\circ[/tex])
$$\Rightarrow BC = h = 4$$

$$V_{цил } = \pi R^{2 }h = ...... $$

[S.B.]

3) Периметърът на ромб е Р, а отношението на дължините на диагоналите му е [tex]\lambda[/tex]. Да се намери лицето на ромба.

Без заглавие - 2024-03-15T161237.266.png (204.87 KiB) Прегледано 1576 пъти

Нека [tex]AC = d_{1 } , BD = d_{2 }[/tex]
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала на ромба $BD$ при което [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow M[/tex]
Правоъгълният [tex]\triangle AMC[/tex] е равнолицев с ромба $ABCD$ ,
защото [tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin 90 ^\circ = \frac{ d_{1 } d_{2 } }{2} , S_{AMC } = \frac{AC.CM}{2} = \frac{ d_{1 } d_{2 } }{2}[/tex]

[tex]\frac{AC}{BD}= \lambda \Leftrightarrow \frac{ d_{1 } }{ d_{2 } } = \lambda \Rightarrow d_{1 } = \lambda d_{2 }[/tex]

[tex]AM = AB + BM \Leftrightarrow AM = \frac{P}{2}[/tex]
За [tex]\triangle AMC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AM^{2 } = AC^{2 } + CM^{2 } \Leftrightarrow ( \frac{P}{2}) ^{2 } = d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } \Leftrightarrow \frac{ P^{2 } }{4} = \lambda ^{2 } d_{2 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } \Leftrightarrow d_{2 } ^{2 } = \frac{ P^{2 } }{4(1 + \lambda ^{2 }) }[/tex]
$$\Rightarrow d_{2 } = \frac{P}{2 \sqrt{1 + \lambda ^{2 } } } $$
[tex]d_{1 } = \lambda d_{2 } \Rightarrow d_{1 } = \frac{ \lambda P }{2 \sqrt{1 + \lambda ^{2 } } }[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{ d_{1 } d_{2 } }{2}\sin 90 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2} .\frac{P}{2 \sqrt{1 + \lambda ^{2 } } }. \frac{ \lambda P }{2 \sqrt{1 + \lambda ^{2 } } }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ \lambda P^{2 } }{8(1 + \lambda ^{2 } )}$$

[Гост]

Много благодаря