Задачи от изпити в ТУ

[Гост]

Здравейте на всички, ще ми помогнете ли за няколко задачи:
1) Околният ръб CD на триъгълна пирамида е перпендикулярен на равнината на основата (ABC). Ако [tex]\angle[/tex]BDA = [tex]\alpha[/tex], CD = 1 cm и AD=BD=2 cm, намерете стойността на cos[tex]\alpha[/tex], за която обемът на пирамидата е най-голям.
2) Уравнението (cosx/|cosx|) +1= cos2x, решенията му в интервала [0; [tex]\pi[/tex]]
3) Да се намери стойностите на реалния параметър a, за които уравненията [tex]x^{2 }[/tex]-a=0 и [tex]\sqrt{x}[/tex]-a=0
4) Да се намери броят на целочислените стойности на параметъра a, за които всяко реално число x е решение на неравенството:
([tex]x^{2 }[/tex]+ax/[tex]x^{2 }[/tex]+x+1) < 3
Благодаря предварително

[KOPMOPAH]

Трета задача ми се струва недописана, а четвърта - с недостатъчно скоби.

[KOPMOPAH]

Поради огромния интерес и ентусиазъм за коригиране на условията, оставям засега решенията за себе си.

[S.B.]

1) Околният ръб CD на триъгълна пирамида е перпендикулярен на равнината на основата (ABC). Ако [tex]\angle[/tex]BDA = [tex]\alpha[/tex], CD = 1 cm и AD=BD=2 cm, намерете стойността на cos[tex]\alpha[/tex], за която обемът на пирамидата е най-голям.

Без заглавие - 2024-03-29T093350.987.png (232.19 KiB) Прегледано 1699 пъти

[tex]V_{ABCD } = \frac{ S_{ABC } .CH}{3} \Leftrightarrow V_{ABCD } = \frac{1}{3} S_{ABC }[/tex]
[tex]\triangle ABD[/tex] се проектира върху $ABC$ [tex]\Rightarrow \frac{ S_{ABC } }{ S_{ABD } } = \cos \varphi[/tex],където [tex]\varphi[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините на основата $ABC$ и стената $ABD$
[tex]\angle ADB = \alpha , \alpha \in (0, \pi )[/tex]
[tex]CM\bot AB,CM[/tex] е проекция на [tex]DM \Rightarrow DM \bot AB[/tex]
От [tex]\triangle DMC \rightarrow \frac{CM}{DM} = \cos \varphi[/tex]
От [tex]\triangle MDB \rightarrow \frac{DM}{DB} = \cos \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow DM = DB\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow DM = 2\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle CMD \rightarrow CM = \sqrt{ DM^{2 } - 1 } \Rightarrow CM = \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos \varphi = \displaystyle\frac{ \sqrt{4 \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \alpha }{2} - 1 } }{2\cos \displaystyle\frac{ \alpha }{2} }[/tex]
[tex]S_{ABD } = \frac{AD.BD}{2}\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ABD } = \frac{2.2}{2} \sin \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABC } = S_{ABD }.\cos \varphi \Leftrightarrow S_{ABC } = 2\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]
От [tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3} S_{ABC } \rightarrow V_{ABCD } = \frac{2}{3}\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{ \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]

Явно обемът на пирамидата е функция на [tex]\alpha[/tex]
$$V( \alpha ) = \frac{2}{3}\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1} $$
От тук нататък ти остава само да намериш първата производна на функцията и да определиш кога има максимум,което мисля,че за теб не би било проблем!
Оставям удоволствието на теб да довършиш задачата! Успех!

Скрит текст: покажи

Отговорът е [tex]\cos \alpha = \frac{1}{4}[/tex]

[Гост]

Трета задача ми се струва недописана, а четвърта - с недостатъчно скоби.

Ами не, точно така си е по условие, нищо не съм пропуснал...

[Гост]

1) Околният ръб CD на триъгълна пирамида е перпендикулярен на равнината на основата (ABC). Ако [tex]\angle[/tex]BDA = [tex]\alpha[/tex], CD = 1 cm и AD=BD=2 cm, намерете стойността на cos[tex]\alpha[/tex], за която обемът на пирамидата е най-голям.

Без заглавие - 2024-03-29T093350.987.png

[tex]V_{ABCD } = \frac{ S_{ABC } .CH}{3} \Leftrightarrow V_{ABCD } = \frac{1}{3} S_{ABC }[/tex]
[tex]\triangle ABD[/tex] се проектира върху $ABC$ [tex]\Rightarrow \frac{ S_{ABC } }{ S_{ABD } } = \cos \varphi[/tex],където [tex]\varphi[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините на основата $ABC$ и стената $ABD$
[tex]\angle ADB = \alpha , \alpha \in (0, \pi )[/tex]
[tex]CM\bot AB,CM[/tex] е проекция на [tex]DM \Rightarrow DM \bot AB[/tex]
От [tex]\triangle DMC \rightarrow \frac{CM}{DM} = \cos \varphi[/tex]
От [tex]\triangle MDB \rightarrow \frac{DM}{DB} = \cos \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow DM = DB\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow DM = 2\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle CMD \rightarrow CM = \sqrt{ DM^{2 } - 1 } \Rightarrow CM = \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos \varphi = \displaystyle\frac{ \sqrt{4 \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \alpha }{2} - 1 } }{2\cos \displaystyle\frac{ \alpha }{2} }[/tex]
[tex]S_{ABD } = \frac{AD.BD}{2}\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ABD } = \frac{2.2}{2} \sin \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABC } = S_{ABD }.\cos \varphi \Leftrightarrow S_{ABC } = 2\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]
От [tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3} S_{ABC } \rightarrow V_{ABCD } = \frac{2}{3}\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{ \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1 }[/tex]

Явно обемът на пирамидата е функция на [tex]\alpha[/tex]
$$V( \alpha ) = \frac{2}{3}\sin \frac{ \alpha }{2} \sqrt{4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 1} $$
От тук нататък ти остава само да намериш първата производна на функцията и да определиш кога има максимум,което мисля,че за теб не би било проблем!
Оставям удоволствието на теб да довършиш задачата! Успех!

Скрит текст: покажи

Отговорът е [tex]\cos \alpha = \frac{1}{4}[/tex]

Благодаря!

[Гост]

Трета задача ми се струва недописана, а четвърта - с недостатъчно скоби.

4 зад. (([tex]x^{2 }[/tex]+ax)/([tex]x^{2 }[/tex]+x+1)) < 3 така по-добре ли е?

[KOPMOPAH]

Трета задача ми се струва недописана, а четвърта - с недостатъчно скоби.

4 зад. (([tex]x^{2 }[/tex]+ax)/([tex]x^{2 }[/tex]+x+1)) < 3 така по-добре ли е?

Разбира се. Нищо, че има две излишни, те са за сметка на липсващите...

$$\frac{x^2+ax}{x^2+x+1}<3\Rightarrow x^2+ax<3\left(x^2+x+1\right)\Rightarrow\cdots \Rightarrow 2x^2+(3-a)x+3<0$$

За да е изпълнено последното неравенство за [tex]\forall x[/tex] трябва дискриминантата му да е отрицателна, $$D=(3-a)^2-24=a^2-6a-15$$Решава се неравенството $$a^2-6a-15<0$$ и се намират целочислените му корени.

[KOPMOPAH]

$$\frac{\cos x}{\left|\cos x \right|} +1= \cos 2x, x\in [0;\pi]$$
Първо да уточним, че дефиниционната област е: $x\in \left[0;\frac{\pi}2 \right)\cup\left(\frac{\pi}2;\pi \right]$ (защо, аджеба... ). Нататък:

$\boxed 1$ $x\in \left[0;\frac{\pi}2 \right),~~\left|\cos x \right|=\cos x, ~~2= \cos 2x$, уравнението няма решение.

$\boxed 2$ $x\in \left(\frac{\pi}2;\pi \right],~~\left|\cos x \right|=-\cos x, ~~0= \cos 2x$, уравнението има решения $x=\pm \frac{\pi}4+k\pi $,
което в зададената дефиниционна област съответства на $x=\frac{3\pi}4$.

[Гост]

$$\frac{\cos x}{\left|\cos x \right|} +1= \cos 2x, x\in [0;\pi]$$
Първо да уточним, че дефиниционната област е: $x\in \left[0;\frac{\pi}2 \right)\cup\left(\frac{\pi}2;\pi \right]$ (защо, аджеба... ). Нататък:

$\boxed 1$ $x\in \left[0;\frac{\pi}2 \right),~~\left|\cos x \right|=\cos x, ~~2= \cos 2x$, уравнението няма решение.

$\boxed 2$ $x\in \left(\frac{\pi}2;\pi \right],~~\left|\cos x \right|=-\cos x, ~~0= \cos 2x$, уравнението има решения $x=\pm \frac{\pi}4+k\pi $,
което в зададената дефиниционна област съответства на $x=\frac{3\pi}4$.

Супер, благодаря!