Изпит ТУ 08.04.2023г. зад 19

[Гост]

Здравейте,
Ще може ли някой да помогне с тази задача, понеже със стереометрията съм много скаран?

Осните сечения на прав кръгов конус образуват прав ъгъл при върха му. Отношението на радиусите на описаната и вписаната спрямо конуса сфера е:
a) 2; б) [tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]; в) [tex]\frac{ \sqrt{2} + 1}{2}[/tex] г) [tex]\sqrt{2}[/tex] - 1 д) 1 + [tex]\sqrt{2}[/tex]

Правилният отговор е д), но как става?

[KOPMOPAH]

Изпит ТУ 08.04.2023г. зад 19.png (8.43 KiB) Прегледано 1465 пъти

Може да се реши така, като приемем радиуса на вписаната окръжност за $1$:
$$AB=2R,~~AC=BC=R+1$$По Питагорова теорема$$2R^2=(R+1)^2+(R+1)^2\Rightarrow\cdots \Rightarrow R=1+\sqrt 2$$

А може и да се използва формулата $$r=\frac{a+b-c}2,~~a=b=R\sqrt2,~c=2R$$или още по-простото$$R\sqrt2=R+1$$

[Евва]

( 2 начин)

[tex]\frac{R}{r} =cotg( \frac{45}{2} ) ^\circ[/tex]= ... = 1+[tex]\sqrt{2}[/tex]