zadacha 6

[Гост]

zdraweite, mozhe li pomosht s 6-ta zadacha, blagodarq predwaritelno

[Евва]

ABCN -триъгълна пирамида с височина NH, AB=BC=AC =7 см., BN=CN =7 см. и AN=10 см.
Нека NH=h ,BH=x и AH=y .
[tex]V_{ABCN }[/tex]= ? cos[tex]\varphi[/tex]=cos[tex]\angle[/tex]HNA =?

Нека ALе ъглполовяща в [tex]\triangle[/tex]ABC .
Мисля ,че поради симетрията (BN=CN) точка H ще лежи на ъглополовящата AL [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAH =30[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AHN -правоъг.) [tex]h^{2 } + y^{2 } = 10^{2 }[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]BHN -правоъг.) [tex]h^{2 } + x^{2 }= 7^{2 }[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ABH -cos T) [tex]x^{2 } = 7^{2 } +y^{2 } -2.7.y.cos30^\circ[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} h^{2 }+ y^{2 } = 100 \\ h^{2 }+ x^{2 } = 49 \\ x^{2 }=49+ y^{2 }-7 \sqrt{3}y (и.зам.) \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} h^{2 }+ y^{2 } = 100 \\ h^{2 }+49+ y^{2 } -7 \sqrt{3}y = 49 \end{array}[/tex]

100- 7[tex]\sqrt{3}[/tex]y=0 ; y=[tex]\frac{100}{7 \sqrt{3} }[/tex] Връщаме се към (1) и получаваме h=[tex]\frac{10 \sqrt{47} }{7 \sqrt{3} }[/tex] см. (2)

[tex]V_{ABCN }[/tex]= [tex]\frac{Bh}{3}[/tex]=[tex]\frac{1}{3} . \frac{ 7^{2 } \sqrt{3} }{4} . \frac{10 \sqrt{47} }{7 \sqrt{3} }[/tex]=[tex]\frac{35 \sqrt{47} }{6}[/tex] [tex]см.^{3 }[/tex]

( [tex]\triangle[/tex]AHN -правоъгълен) cos[tex]\varphi[/tex]=cos[tex]\angle[/tex]HNA=[tex]\frac{h}{AN} = \frac{10 \sqrt{47} }{7 \sqrt{3} 10} = \frac{ \sqrt{141} }{21}[/tex]

[Гост]

Много благодаря!

[S.B.]

zdraweite, mozhe li pomosht s 6-ta zadacha, blagodarq predwaritelno

Още един поглед върху задачата:

Без заглавие - 2024-04-06T082418.197.png (277.59 KiB) Прегледано 1422 пъти

[tex]CN = BN \Rightarrow[/tex] върхът $N$ се проектира върху симетралата на $CB$ и петета на височината $NH$ т.$H$ лежи извън основата на пирамидата $ABCN$ върху [tex]S_{BC }[/tex] ,което ще докажем:
[tex]S_{BC } \cap BC = S, A \in S_{BC }, SN[/tex] е апотема в стената $BCN$ (Защо?)
За [tex]\triangle ASN[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AS = SN = \frac{7 \sqrt{3} }{2}, AN = 10[/tex] (Защото[tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BCN[/tex] са равностранни със страна $7$ по условие)
[tex]\angle ASN = \alpha , \angle NSH = \alpha _{1 }[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{ 10^{2 } - 2 ( \frac{7 \sqrt{3} }{2}) ^{2 } }{-2 ( \frac{7 \sqrt{3} }{2}) ^{2 } } = - \frac{53}{147} \Rightarrow \alpha > 90 ^\circ[/tex] и петата на височината лежи извън равнината на основата на пирамидата.
[tex]\angle \alpha _{1 } = 180 ^\circ - \angle \alpha \Rightarrow \cos \alpha _{1 } = \frac{53}{147} , \sin \alpha _{1 } = \frac{20}{147} \sqrt{47} =[/tex]

От [tex]\triangle SNH \rightarrow \frac{NH}{NS} = \sin \alpha _{1 } \Rightarrow NH = \frac{7 \sqrt{3} }{2}. \frac{20 \sqrt{47} }{147}= \frac{10 \sqrt{141} }{21}[/tex]

[tex]V_{ABCN } = \frac{1}{3} S_{ABC }.NH \Leftrightarrow V_{ABCN } = \frac{1}{3} \frac{ 7^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{10 \sqrt{141} }{21 } = \frac{1}{3}. \frac{ 7^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{10 \sqrt{3} \sqrt{47} }{21}[/tex]
$$V_{ABCN } = \frac{35 \sqrt{47} }{6} $$
От [tex]\triangle AHN \rightarrow \displaystyle \frac{AH}{AN} = \cos \angle ANH \Leftrightarrow \cos \varphi = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{10 \sqrt{141} }{21} }{10}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{ \sqrt{141} }{21}$$

[Гост]

Много благодаря!