за СУ 2

[martin123456]

Уравнението [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex] има три реални различни корена. Колко различни решения има уравнението [tex]4(ax^3+bx^2+cx+d)(3ax+b)=(3ax^2+2bx+c)^2[/tex]?

[estoyanovvd]

Мартине, от къде ги вадиш тези хубави задачи?

[ganka simeonova]

Забелязваме, че [tex]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex],[tex]f"(x)=6ax+2b[/tex].
Тогава уравнението има вида [tex]2f.f"=(f')^2[/tex]
Да разгледаме функцията [tex]g(x)=2f.f"-(f')^2[/tex]
Това е функция от 4 степен и старшият коефициент е [tex]3a^2>0[/tex]=> графиката е обърната нагоре .
Да я изследваме. За целта ще намерим първата и производна.
[tex]g'(x)=2f'.f"+2f.6a-2f'f"=12af[/tex]
Тази производна има три различни корена, тогава ф-та ще има и три екстремума.
Нека корените означим с [tex]x_i; i=1,2,3[/tex]
[tex]g(x_i)=2f(x_i)f"(x_i)-f'([x_i)]^2=-f'([x_i)]^2<0[/tex]
От теоремата за междинните стойнмости=>функцията ще има само две пресечни точки с абсцисата=>уравнението само два различни корена.

[martin123456]

да