TY

[Гост]

1. За ромба ABCD с остър ъгъл DAB = y е изпълнено, че описаната около триъгълник ABD окръжност минава през средата на страната CD. Да се намери cos y.

2. Дадена е пирамидата ABCD с основа равнобедреният ABC(AC=BC) със страна AB = 12 см и височина към нея 8см. Всички двустенни ъгли между околните стени на пирамидата и основата и са равни на 45градуса. Да се намери обемът на пирамидата

[KOPMOPAH]

TY-1.png (12.82 KiB) Прегледано 952 пъти

Отбелязваме страната на ромба с $2$. Средата на $CD$ е т.$M$. Четириъгълникът $ABMD$ е трапец, а щом е вписан, значи е равнобедрен, следователно $MB=2$. Продължаваме $BM$ и $AD$ до пресичането им в т.$E$.
За $\triangle ABE$ $DM$ е средна отсечка $\left(DM=\frac12 AB, DM||AB\right)$, значи $AD=DE=2,~BM=ME=2$.

Косинусова теорема за $\triangle ABE$ ни дава$$BE^2=AE^2+AB^2-2.AE.BE.\cos \gamma$$ $$4^2=4^2+2^2-2.2.4.\cos\gamma\Rightarrow \cdots\Rightarrow \cos\gamma=\frac 14$$

[antoniy]

TY-1.png

Отбелязваме страната на ромба с $2$. Средата на $CD$ е т.$M$. Четириъгълникът $ABMD$ е трапец, а щом е вписан, значи е равнобедрен, следователно $MB=2$. Продължаваме $BM$ и $AD$ до пресичането им в т.$E$.
За $\triangle ABE$ $DM$ е средна отсечка $\left(DM=\frac12 AB, DM||AB\right)$, значи $AD=DE=2,~BM=ME=2$.

Косинусова теорема за $\triangle ABE$ ни дава$$BE^2=AE^2+AB^2-2.AE.BE.\cos \gamma$$ $$4^2=4^2+2^2-2.2.4.\cos\gamma\Rightarrow \cdots\Rightarrow \cos\gamma=\frac 14$$

Има ли други начини за решаване на тази задача?

[S.B.]

Има ли други начини за решаване на тази задача?

Без заглавие - 2025-04-10T140149.861.png (277.21 KiB) Прегледано 655 пъти

Разбирасе,че има и друг начин!Защо да няма?
Нека страната на ромба е $a$, т. $M$ е среда на страната $DC$, [tex]\Rightarrow DM = \frac{a}{2}[/tex]
Както казва колегата KOPMOPAH фигурата около която е описана окръжността $ABMD$ е равнобедрен трапец.(Нали не очаквате всичко да променим? )
Построяваме [tex]DH \bot AB,H \in AB[/tex]
[tex]AH = \frac{AB - CM}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}( a - \frac{a}{2}) \Rightarrow AH = \frac{a}{4}[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle AHD \rightarrow \displaystyle\frac{AH}{AD} = \cos \gamma \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\frac{a}{4} }{a}= \cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{4}[/tex]

[antoniy]

Има ли други начини за решаване на тази задача?

Без заглавие - 2025-04-10T140149.861.png

Разбирасе,че има и друг начин!Защо да няма?
Нека страната на ромба е $a$, т. $M$ е среда на страната $DC$, [tex]\Rightarrow DM = \frac{a}{2}[/tex]
Както казва колегата KOPMOPAH фигурата около която е описана окръжността $ABMD$ е равнобедрен трапец.(Нали не очаквате всичко да променим? )
Построяваме [tex]DH \bot AB,H \in AB[/tex]
[tex]AH = \frac{AB - CM}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}( a - \frac{a}{2}) \Rightarrow AH = \frac{a}{4}[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle AHD \rightarrow \displaystyle\frac{AH}{AD} = \cos \gamma \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\frac{a}{4} }{a}= \cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{4}[/tex]

Благодаря за решението! Да попитам, там където окръжността пресича BC, това може ли да се докаже, че е средата на BC. (Знам, че няма да промени решението или нещо, но ми е интересно да разбера).

[S.B.]

Това,че окръжността пресича страната [tex]DC[/tex] в средата е дадено по условие.Това не винаги е изпълнено.

[Гост]

Благодаря за решението! Да попитам, там където окръжността пресича BC, това може ли да се докаже, че е средата на BC. (Знам, че няма да промени решението или нещо, но ми е интересно да разбера).

Ромбът и окръжността са симетрични спрямо правата АС (отсечката АС е диаметър на окръжността, понеже минава през центъра й) . Така, че както М, точката, в която окръжността пресича CD, е среда на CD, така и точката, в която окръжността пресича ВС, е среда на ВС.

[Гост]

TY-1.png (14.51 KiB) Прегледано 626 пъти

Всъщност диаметър е АР, част от диагонала АС. Това може да се докаже например така:

Окръжността е описана около АВD. От свойство на ромба $AB=AD$ и $\angle OAB=\angle OAD$. Оттук дъгата АВ е равна на дъгата AD и дъгата BP е равна на дъгата DP (на равни хорди съответстват равни дъги и вписаните равни ъгли са половинки от дъгите). Така имаме $\stackrel{\frown}{AB}+\stackrel{\frown}{BP}=\stackrel{\frown}{AD}+\stackrel{\frown}{DP}\Rightarrow\ AP$ - диаметър.

От друга страна всеки ромб е симетричен спрямо всеки свой диагонал.

Така вече се вижда, че ромбът и окръжността са огледално симетрични спрямо $AP$.