24 задача от изпит на ТУ - София 27.04.2024

[Гост]

Не мога да разбера как трябва да реша задачата.От дълго време съм закъсал на нея.Може ли подробно решение на задачата с чертеж, за да разбера къде греша в решаването и?
Много благодаря предварително!!!

24. В правоъгълен паралелепипед телесен диагонал е с дължина 4 cm и
сключва с основата ъгъл 45[tex]^\circ[/tex]. Да се намери обемът на паралелепипеда, ако
диагоналите на основата сключват помежду си ъгъл 30[tex]^\circ[/tex].

[ammornil]

Не мога да разбера как трябва да реша задачата.От дълго време съм закъсал на нея.Може ли подробно решение на задачата с чертеж, за да разбера къде греша в решаването и?
Много благодаря предварително!!!

24. В правоъгълен паралелепипед телесен диагонал е с дължина 4 cm и
сключва с основата ъгъл 45[tex]^\circ[/tex]. Да се намери обемът на паралелепипеда, ако
диагоналите на основата сключват помежду си ъгъл 30[tex]^\circ[/tex].

[tex]\\AB=a,\quad BC=b,\quad a>b[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=4^{2} \\ a^{2}+b^{2}=4\cdot{}\cos{45^{\circ}} \\ b^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\cdot{}(1-\cos{30^{\circ}})[/tex]
Като решите системата от тези три уравнения ще може да намерите [tex]V=a\cdot{b}\cdot{c}[/tex]

[S.B.]

Не мога да разбера как трябва да реша задачата.От дълго време съм закъсал на нея.Може ли подробно решение на задачата с чертеж, за да разбера къде греша в решаването и?
Много благодаря предварително!!!

24. В правоъгълен паралелепипед телесен диагонал е с дължина 4 cm и
сключва с основата ъгъл 45[tex]^\circ[/tex]. Да се намери обемът на паралелепипеда, ако
диагоналите на основата сключват помежду си ъгъл 30[tex]^\circ[/tex].

Без заглавие - 2024-06-06T071440.666.png (226.71 KiB) Прегледано 515 пъти

Друг поглед върху задачата

Телесният диагонал е с дължина $4 cm$ и сключва с равнината на основата [tex]\angle = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle AC C_{1 }[/tex] е равнобедрен,правоъгълен с хипотенуза [tex]A C_{1 } = 4[/tex] и катети [tex]AC = C C_{1 } = 2 \sqrt{2}[/tex]
(Защото телесният диагонал се проектира върху диагонала на основата)
[tex]AC \cap BD = O , \angle AOD = 30 ^\circ[/tex]
$$V = S_{ABCD }.C C_{1 } $$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \angle AOD \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{2 \sqrt{2} .2 \sqrt{2} }{2} . \frac{1}{2} = 2[/tex]
(Защото основата е правоъгълник и $AC = BD$)
[tex]\Rightarrow V = 2. CC_{1 } \Leftrightarrow V = 2.2 \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow V = 4 \sqrt{2} $$