На вниманието на кандидат - студентите

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$ ,за всяка от които уравнението
$$(a - |x-21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0 $$
има точно четири различни решения.

[pepi23]

0 < a < 2
Така ли е

[ammornil]

Според мен [tex](-2;2)[/tex]

[Гост]

Според мен се търсят конкретни стойности за $a$,а не интервала на който принадлежи $a$

[nikola.topalov]

Уравнението [tex]a-|x-21|=0[/tex] може да има [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] или [tex]2[/tex] решения в зависимост от параметъра [tex]a[/tex], а уравнението [tex]x^3-3x-a=0[/tex] [tex]-[/tex] [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] или [tex]3[/tex] решения. В сила са следните случаи:

Първи случай: Първото уравнение да дава [tex]1[/tex] решение, а второто [tex]-[/tex] [tex]3[/tex]. За да дава [tex]a-|x-21|=0[/tex] единствено решение трябва [tex]a=0[/tex]. Кубичното уравнение има три реални корена за [tex]-2<a<2[/tex]. Тогава [tex]\{a|a=0\}\cap\{a|-2<a<2\}=\{a|a=0\}[/tex] и в така [tex]x_1=21[/tex], съответно второто уравнение става еквивалентно на [tex]x^3-3x=0[/tex], откъдето [/tex]x_2=0[/tex] и [tex]x_{3,4}=\pm\sqrt{3}[/tex]. Значи [tex]a=0[/tex] удовлетворява условието на задачата.

Втори случай: И двете уравнения да имат по [tex]2[/tex] решения. Модулното уравнение ще има две решения за [tex]a>0[/tex], а кубичното уравнение [tex]-[/tex] за [tex]a=\pm 2[/tex]. Тогава имаме [tex]\{a|a>0\}\cap\{a|a=\pm 2\}=\{a|a=2\}[/tex]. Ще проверим дали [tex]a=2[/tex] изпълнява даденото условие. Модулното уравнение ни дава решенията [tex]x_1=19[/tex] и [tex]x_2=23[/tex], а от кубичното уравнение намираме [tex]x_{3,4}=1[/tex] и [tex]x_{5}=-2[/tex]. Ако броим двойния корен за едно решение, то [tex]a=2[/tex] удовлетворява условието.

Окончателно, [tex]a=0[/tex] или [tex]a=2[/tex]. Дано не съм изпуснал нещо.

Разсъжденията за кубичната функция идват от изследването на взаимното положение на графиките на функциите [tex]f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex], дефинирани посредством [tex]f(x)=x^3-3x[/tex] и [tex]g(x)=a[/tex].

[peyo]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$ ,за всяка от които уравнението
$$(a - |x-21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0 $$
има точно четири различни решения.

In [17]: var("x,y,a")
Out[17]: (x, y, a)

In [18]: y = (a-abs(x-21))*(x**3-3*x-a)

In [24]: plot(y.subs(a,-3),y.subs(a,-2),y.subs(a,-1),y.subs(a,0),y.subs(a,1),y.subs(a,2),y.subs(a,3),(x,-3,3))

Figure_agrafik.png (62.18 KiB) Прегледано 451 пъти

Аз не виждам някъде да има 4 решения. Само 3 най-много.

[pal702004]

При $a<0$ първият множител не може да е 0, а втория е кубичен полином и не може да има 4 корена.
При $а=0$ имаме 4 решения: $x_1=21,x_2=0,x_{3,4}=\pm \sqrt 3$
При $a>0$ от първия множител имаме 2 различни решения.За да имаме още две решения е необходимо:
1. Да имаме съвпадащи корени при кубичния полином.
Това го има при $a=\pm 2$, но понеже $a>0$, то остава $a=2$ с двоен корен $-1$. Или, корените са:
$x=23,x=19,x=-1,x=2$

2. Да имаме има 3 три различни, някой от които съвпада с решение от първия множител:
$x=21+a$, или $x=21-a$ да корен на кубичния полином

В първия случай няма допустимо решение - единственото реално решение за $a$ е отрицателно.
Във втория имаме решение $a=18$, но при него полинома има единствен реален корен $x=3$

Или, условието е изпълнено при $а=0,а=2$

Дано не съм изпуснал нещо.

аз на практика дублирах вашето решение. Не сте разгледал само варианта кубичния множител да има 3 решения, едно от които съвпада с някое от двете решения от първия множител, но този вариант не дава нови решения.

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$ ,за всяка от които уравнението
$$(a - |x-21|)( x^{3 } - 3x - a) = 0 $$
има точно четири различни решения.

Благодаря на колегите nikola.topalov и pal702004!
Ще представя и моето решение

[tex](a - |x - 21|)( x^{3 } -3x -a) = 0 \Leftrightarrow a - |x - 21| = 0 \cup x^{3 } - 3x - a = 0[/tex]
Разглеждам [tex]x^{3 } - 3x - a = 0[/tex]
Образувам функцията$$a(x) = x^{3 } - 3x $$
Д.М. [tex]x \in (- \infty; + \infty )[/tex], нечетна, графиката ѝ е симетрична относно началото на координатната система.
[tex]a_{x }' = 3 x^{2 } - 3 \ge 0 \Leftrightarrow a_{x }' = 3(x - 1)(x + 1) \ge 0[/tex]
За [tex]x \in (- \infty ; -1][/tex] функцията расте ,За [tex]x \in [-1; 1][/tex] намалява и за [tex]x \in [-1;+ \infty )[/tex] расте отново.
За [tex]x= -1[/tex] функцията достига своя максимум , [tex]a_{max } = 2[/tex]
За [tex]x = 1[/tex] функцията достига своя минимум , [tex]a_{min } = -2[/tex]

За $a = 0$ получаваме пресечните точки на [tex]a(x)[/tex] с абцисата:
[tex]x^{3 } - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0[/tex]
Графиката на [tex]a_{x }[/tex] пресича абцисата в точките [tex]- \sqrt{3} , 0 ,+ \sqrt{3}[/tex]

Без заглавие - 2024-06-20T124056.219.png (370.88 KiB) Прегледано 382 пъти

1)
За $a = 0$
[tex]x^{3 } + 3x = 0[/tex] има корени [tex]x_{1 } = - \sqrt{3}, x_{2 } = 0 , x_{3 } = + \sqrt{3}[/tex]
[tex]a - |x - 21| = 0 \Leftrightarrow |x - 21| = 0 \Rightarrow x = 21[/tex]
Получихме: за $a = 0 $ $$ x_{1 }= - \sqrt{3}, x_{2 } = 0 , x_{3 } = + \sqrt{3}, x_{4 }= 21 $$
2)
$a = 2$
[tex]x^{3 } - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x^{3 } - x) - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x(x + 1)(x - 1) -2(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^{2 } (x - 2) = 0[/tex]
Корените са :[tex]x_{1 } = x_{2 } = -1 , x_{3 } = 2[/tex]
[tex]a - |x - 21| = 0 \Leftrightarrow |x - 21| = 2 \Leftrightarrow \begin{cases} x - 21 = 2 \\ -x + 21 = 2 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 23 \\ x = 19 \end{cases} \end{cases}[/tex]
Получихме:за $a = 2$
$$x_{1 } = -1 , x_{2 } = 2, x_{3 }= 19, x_{4 } = 23 $$
3)
$а = -2$
[tex]x^{3 } - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow ( x^{3 } - x) -2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2 }(x - 2) = 0[/tex]
Корените са [tex]x_{1 } = x_{2 } = 1 , x_{3} = 2[/tex]
[tex]a - |x - 21| = 0 \Leftrightarrow -2 - |x - 21| = 0 \Leftrightarrow |x - 21| = -2[/tex], което няма решение.

Отговорът е:
$$a = 0, a = 2$$