Окръжност вписана в равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрения [tex]\triangle ABC ( AC = BC)[/tex] , е вписана окръжност с център $O$.Правата минаваща през точките $A$ и $O$ пресича страната $BC$ в точка $M$ така,че $AO = 3, OM = 2$.Да се намерят косинуса на [tex]\angle BAC[/tex] и радиусът на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

Най - учтиво моля за помощта Ви!

[KOPMOPAH]

Окръжност вписана в равнобедрен триъгълник.png (7.75 KiB) Прегледано 311 пъти

За $\triangle AMC$ $CO$ се явява ъглополовяща (минава през центъра на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност), следователно $AC:CM=3:2$. Удобно е да се приеме, че $AC=6x$ и $CM=4x$ за да се работи с цели числа. Понеже $\triangle ABC$ е равнобедрен, за $BM$ остава да е равно на $2x$.

За $\triangle ABC$ $AM$ също се явява ъглополовяща, следователно $AC:AB=CM:BM$, откъдето $AB=3x$.

Тогава по Косинусова теорема за $\triangle ABC$ получаваме$$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos BAC$$ $$(6x)^2=(6x)^2+(3x)^2-2\cdot 6x\cdot 3x\cdot \cos BAC$$След извършване на действията и съкращаване на $x^2$ получаваме $$\cos BAC=\frac 14$$

За да се намери радиусът на описаната окръжност трябва да се намери някоя страна. Най-удобно е да намерим $BC$, защото имаме косинуса на срещулежащия му ъгъл. От свойствата на ъглополовящата следва:$$AM^2=AB.AC-BM.CM$$ $$25=18x^2-8x^2\Rightarrow x=\frac{\sqrt {10}}2,~~BC=3\sqrt {10}$$ $$\cos BAC=\frac 14\Rightarrow \sin BAC=\frac {\sqrt{15}}4$$По Синусова теорема $$\frac{BC}{\sin BAC}=2R$$Заместваме и получаваме $R$.

[Гост]

Сърдечно благодаря!