Зад. от СУ-2024

[Гост]

Може ли някой да реши зад. 8 от изпита в СУ от 8.06.2024 г. Аз трудно си представям чертежа, а условието е:
Три окръжности k1(O1,r1), k2(O2,r2), k3(O3,r3) се допират външно по между си. Всяка от тях допира и права g. Ако r1 = 9, r2 = 16 и r3 > r1, то r3 е равно на:
А) 108; Б) 120; В) 144; Г) 162

[peyo]

Може ли някой да реши зад. 8 от изпита в СУ от 8.06.2024 г. Аз трудно си представям чертежа, а условието е:
Три окръжности k1(O1,r1), k2(O2,r2), k3(O3,r3) се допират външно по между си. Всяка от тях допира и права g. Ако r1 = 9, r2 = 16 и r3 > r1, то r3 е равно на:
А) 108; Б) 120; В) 144; Г) 162

Много смешна задачка! Добре внимавайте сега, защото следното решение няма да има много смисъл:

Нека О1 е (0,0), О2 е (25,0)
Правата g:
$Ax+By+C=0$

Разстоянието от (0,0) до правата е 9:
$A*0+B*0+C=9$
$C=9$

Разстоянието от (25,0) до правата е 16:
$A*25+B*0+9=16$
$A=7/25$

$Ax/\sqrt{A^2+B^2}+By/\sqrt{A^2+B^2}+C/\sqrt{A^2+B^2}=0$

[tex]B=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]

[tex]{\sqrt{(7/25)^2+B^2}}=1[/tex]

[tex]B^2=1-(7/25)^2[/tex]

[tex]B=\sqrt{1-(7/25)^2} = 24/25[/tex]

Правата g става:
$(7/25)x+(24/25)y+9=0$

I сега търсим точка която е на разстояние r от правата и от окръжностите:

[tex]\begin{array}{|l} (7/25)x+(24/25)y+9=r \\ x^2+y^2=(9+r)^2 \\ (x-25)^2+y^2=(16+r)^2 \end{array}[/tex]

Решаваме системата по възможно най-лесния начин (като накараме компютъра да я реши):

In [84]: var("x,y,r")
Out[84]: (x, y, r)

In [86]: S = [(7/25)*x+(24/25)*y+9-r, x**2+y**2-(9+r)**2, (x-25)**2+y**2-(16+r)**2 ]

In [87]: solve(S)
Out[87]:
[{r: 2.93877551020408, x: 8.17714285714286, y: -8.69877551020408},
{r: 144.000000000000, x: -31.3200000000000, y: 149.760000000000}]


Отг. В) 144

[Гост]

Според Мартин Гарднер, Фредерик Соди, нобелов лауреат по химия е открил следната формула (но е забравил как е стигнал до нея):

$a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{1}{2}(a+b+c+d)^2$, където $a,b,c,d$ са реципрочни на радиусите на четири окръжности в равнината, всяка от които се допира до останалите три (може и вътрешно)

В нашия случай правата играе роля на четвъртата окръжност с радиус безкрайност, следователно $d=0$

$a=\frac{1}{9};\ b=\frac{1}{16};\ c=\frac{1}{144}$

$\frac{1}{9^2}+\frac{1}{16^2}+\frac{1}{144^2}+\frac{1}{\infty}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{144}+\frac{1}{\infty}\right)^2=\frac{13^2}{3^4.2^7}$

[Евва]

Да си представим чертежа .
Нека хоризонтален ( и гладък ) лед играе ролята на правата g .
В/у него вляво стои майка пингвин( [tex]К_{2 }[/tex] с [tex]R_{2 }[/tex]=16 ) .
В/у него вдясно стои татко пингвин ([tex]К_{3 }[/tex] с [tex]R_{3 }[/tex]=? ) .
Според условието те се допират в точка (не много близка до леда) .

М/у тях стои и се топли малко пингвинче ([tex]К_{1 }[/tex] с [tex]R_{1 }[/tex]=9 ) ,което се допира до мама , татко и леда.

Задачата може да се реши чрез Питагор ,или чрез тригонометрия + cos T .
Получаваме същите два отговора като на колегата peyo .
[tex]R_{3 }[/tex]=144 и [tex]R_{3 } = \frac{144}{49}[/tex] , но [tex]\frac{144}{49}[/tex]<9 и отпада (виж условието)
Остава отг. В) 144

Скрит текст: покажи

Ама че голям татко .

[Гост]

Евва как точно си представяш решението чрез теоремата на Питагор или чрез косинусова теорема?

[KOPMOPAH]

Зад. от СУ-2024.png (10.29 KiB) Прегледано 536 пъти

Отговарям вместо Евва - използвам три пъти Питагорова теорема:$$O_1A^2=O_1O_2^2-O_2A^2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow O_1A=24$$ $$BO_1^2=O_3O_1-O_3B^2,~~BO_1=\sqrt{(R_3+9)^2-(R_3-9)^2}=\cdots=6\sqrt{R_3}$$ $$CO_2^2=O_3O_2-O_2C^2,~~CO_2=\sqrt{(R_3+16)^2-(R_3-16)^2}=\cdots=8\sqrt{R_3}$$ $$6\sqrt{R_3}+24=8\sqrt{R_3}\Rightarrow R_3=144$$

[Гост]

Зад. от СУ-2024.png

Отговарям вместо Евва - използвам три пъти Питагорова теорема:$$O_1A^2=O_1O_2^2-O_2A^2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow O_1A=24$$ $$BO_1^2=O_3O_1-O_3B^2,~~BO_1=\sqrt{(R_3+9)^2-(R_3-9)^2}=\cdots=6\sqrt{R_3}$$ $$CO_2^2=O_3O_2-O_2C^2,~~CO_2=\sqrt{(R_3+16)^2-(R_3-16)^2}=\cdots=8\sqrt{R_3}$$ $$6\sqrt{R_3}+24=8\sqrt{R_3}\Rightarrow R_3=144$$

Това е решение!

[Евва]

Нека [tex]\angle А О_{1 } О_{2 } = \alpha[/tex] и [tex]\angleВ О_{1 } О_{3 } = \beta[/tex]
([tex]\triangleВ О_{1 } О_{3 }[/tex] -правоъгълен) sin[tex]\beta = \frac{ R_{3 }-9 }{ R_{3 } +9 }[/tex] и cos[tex]\beta = \frac{6 \sqrt{ R_{3 } } }{ R_{3 } +9 }[/tex]

([tex]\triangle O_{1 }A O_{2 }[/tex] - правоъгълен) sin[tex]\alpha = \frac{7}{25}[/tex] и cos[tex]\alpha = \frac{24}{25}[/tex]

([tex]\triangle O_{3 } O_{1 } O_{2 }[/tex] -cos T) [tex]O_{2 } O_{3 } ^{2 } = O_{1 } O_{3 } ^{2 }+ O_{1 } O_{2 } ^{2 }[/tex]-2[tex]O_{1 } O_{3 }. O_{1 } O_{2 }cos \angle O_{3 } O_{1 } O_{2 }[/tex]

[tex]( R_{3 } +16) ^{2 } =( R_{3 } +9) ^{2 } + 25^{2 } -2( R_{3 } +9)25cos[ 180 ^\circ -( \alpha+ \beta) ][/tex]
Опростяваме и получаваме 49[tex]R_{3 } ^{2 } -7 200 R_{3 } +20 736=0[/tex]
k= - 3 600 и D= 12 960 000 -1 016 064 =11 943 936 =[tex]3456^{2 }[/tex]

[tex]R_{3 } = \frac{3 600 \pm 3 456}{49} \Rightarrow R_{3 }=144 , или R_{3 } = \frac{144}{49} \approx 2,9[/tex] отпада

Ако нямаше ограничение в условието , то намерената най-малка окр. (с [tex]R_{3 } \approx 2,9[/tex]) ще е бебето пингвин ,което се топли м/у мама ([tex]R_{2 }[/tex]=16) и малкото пингвинче ([tex]R_{1 }=9[/tex]) .