Тригонометрично параметрично уравнение

[Гост]

Може ли някои да помогне за решаването на следната задача.
За кой цели стойности на параметъра k уравнението

uslovie.png (3.83 KiB) Прегледано 526 пъти

има решение

[pal702004]

Помагам:

$2\cos^2\left(\dfrac x 2\right)=1+\cos(x)$
$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$

[Гост]

До тук и аз го реших. Положих и получих квадратно параметрично. Там закъсах, защото не можах да го реша. Затова питах дали някой може да го реши.

[ammornil]

Според мен изглежда така...[tex]\\2\cdot{}(1-\cos^{2}{(x)})+3\cdot{}(1+\cos{(x)})+2k-5=0 \\ 2-2\cos^{2}{(x)}+3+3\cos{(x)}+2k-5=0 \\2\cos^{2}{(x)}-3\cos{(x)}-2k=0 \\ \quad \cos{(x)}=u \Rightarrow -1\le{}u\le{}1 \\2u^{2}-3u-2k=0 \\ \exists{u} \Rightarrow D\ge{0} \Rightarrow (-3)^{2}-4\cdot{2}\cdot{(-2k)}\ge{0} \Leftrightarrow 16k+9\ge{0} \Rightarrow k\in\left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ u_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{16k+9}}{2\cdot{2}} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} \frac{3-\sqrt{16k+9}}{4}\ge{-1} \\ \frac{3-\sqrt{16k+9}}{4}\le{1} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \frac{3+\sqrt{16k+9}}{4}\ge{-1} \\ \frac{3+\sqrt{16k+9}}{4}\le{1} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} 3-\sqrt{16k+9}\ge{-4} \\ 3-\sqrt{16k+9}\le{4} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} 3+\sqrt{16k+9}\ge{-4} \\ 3+\sqrt{16k+9}\le{4} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} \sqrt{16k+9}\le{-7} \\ \sqrt{16k+9}\ge{1} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \sqrt{16k+9}\ge{-7} \\ \sqrt{16k+9}\le{1} \end{array} \\ \quad \\ \quad \oslash \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \forall{k}\in\left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ 16k+9\le{1} \end{array} \\ \begin{array}{|l} \left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ k\le{-\frac{1}{2}} \end{array}[/tex]$$ k \in \left[-\frac{9}{16};-\frac{1}{2}\right]$$

Проверете изчисленията за аритметични грешки или неправлни знаци.

[Гост]

Според мен изглежда така...[tex]\\2\cdot{}(1-\cos^{2}{(x)})+3\cdot{}(1+\cos{(x)})+2k-5=0 \\ 2-2\cos^{2}{(x)}+3+3\cos{(x)}+2k-5=0 \\2\cos^{2}{(x)}-3\cos{(x)}-2k=0 \\ \quad \cos{(x)}=u \Rightarrow -1\le{}u\le{}1 \\2u^{2}-3u-2k=0 \\ \exists{u} \Rightarrow D\ge{0} \Rightarrow (-3)^{2}-4\cdot{2}\cdot{(-2k)}\ge{0} \Leftrightarrow 16k+9\ge{0} \Rightarrow k\in\left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ u_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{16k+9}}{2\cdot{2}} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} \frac{3-\sqrt{16k+9}}{4}\ge{-1} \\ \frac{3-\sqrt{16k+9}}{4}\le{1} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \frac{3+\sqrt{16k+9}}{4}\ge{-1} \\ \frac{3+\sqrt{16k+9}}{4}\le{1} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} 3-\sqrt{16k+9}\ge{-4} \\ 3-\sqrt{16k+9}\le{4} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} 3+\sqrt{16k+9}\ge{-4} \\ 3+\sqrt{16k+9}\le{4} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} \sqrt{16k+9}\le{-7} \\ \sqrt{16k+9}\ge{1} \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \sqrt{16k+9}\ge{-7} \\ \sqrt{16k+9}\le{1} \end{array} \\ \quad \\ \quad \oslash \quad \cup \quad \begin{array}{|l} \forall{k}\in\left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ 16k+9\le{1} \end{array} \\ \begin{array}{|l} \left[-\frac{9}{16};+\infty\right) \\ k\le{-\frac{1}{2}} \end{array}[/tex]$$ k \in \left[-\frac{9}{16};-\frac{1}{2}\right]$$

Проверете изчисленията за аритметични грешки или неправлни знаци.

Според условието параметърът трябва да е цяло число,нали?

[pal702004]

$2k=2t^2-3t$

Търсим миминума и максимума на $2t^2-3t$ на $[-1;1]$

[Гост]

В условието на задачата се казва, че се търсят ЦЕЛИ стойности на k, за който уравнението да има решение.
В горното решение се разглежда само един случай, когато и двата корена на квадратното параметрично уравнение принадлежат на интервала [– 1; 1].
Трябва да се разгледа още един случай, когато поне един от корените на квадратното уравнение да принадлежи на [– 1; 1].
Достатъчно е да се реши неравенството f(– 1).f(1) ≤ 0. Тогава се получават решения за k принадлежащи на интервала [– 0,5; 2,5], като целите числа ще бъдат 0, 1, 2.

[S.B.]

Може ли някои да помогне за решаването на следната задача.
За кой цели стойности на параметъра k уравнението

uslovie.png

има решение

Моят поглед върху задчата :

[tex]2 \sin^{2 } x + 6 \cos^{2 } \frac{x}{2} = 5 -2k \Leftrightarrow 2(1 - \cos^{2 }x) + 3(1 + \cos x) = 5 - 2k \Leftrightarrow 2 - 2\cos^{2 }x + 3 + 3\cos x = 5 - 2k \Leftrightarrow - 2 \cos^{2 }x + 3\cos x = - 2k \Leftrightarrow 2 \cos^{2 } x - 3\cos x = 2k[/tex]
Полагам [tex]\cos x = t[/tex]
[tex]\cos x \in [-1 ; 1] \Rightarrow t \in [-1 ; 1][/tex]
[tex]2 t^{2 } - 3t = 2k[/tex]
Образувам функцията [tex]k(t) = t^{2 } - \frac{3}{2}t[/tex] ,където Д.М. на аргумента $t$ е [tex]t \in [-1;1][/tex]
[tex]\lim_{t\to -1}k(t) = \lim_{x \to -1} t^{2 } - \frac{3}{2}t = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow t \rightarrow -1 ,k(t) \rightarrow \frac{5}{2}[/tex]
[tex]\lim_{t \to 1}k(t) = \lim_{t \to 1} t^{2 } - \frac{3}{2}t = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow t \rightarrow 1 ,k(t) \rightarrow - \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] когато [tex]t \in [-1;1][/tex], тогава [tex]k(t) \in [- \frac{1}{2}; \frac{5}{2}][/tex], където целите числа са $(0 , 1 , 2)$

1) $k = 0$
[tex]t^{2 } - \frac{3}{2}t = 0 \Leftrightarrow t(t - \frac{3}{2}) = 0 \Rightarrow t_{1 } = 0 \in[/tex] Д.М. , [tex]t_{2 } = \frac{3}{2} \notin[/tex] Д.М.
$$\Rightarrow k = 0 , t = 0$$

2) $k = 1$
[tex]2t^{2 } - 3t -2 = 0 ,D = 25, t_{1 } = 2 \notin[/tex] Д.М. ,[tex]t_{2 } = - \frac{1}{2} \in[/tex] Д.М.
$$\Rightarrow k = 1 , t = - \frac{1}{2} $$

3) $k = 2$
[tex]2t^{2 } - 3t -4 = 0 , D = 41 , t_{1 } \approx 2,35 \notin[/tex] Д.М. , [tex]t_{2 } \approx -0,85 \in[/tex] Д.М.
$$\Rightarrow k = 2 , t \approx - 0,85$$