Зад. от СУ-2024

[Гост]

Аз решавам зад. 2 от изпита в СУ 2024 г като заместя с отговорите. Можели някой да я реши без да се замества с отговорите. Условието е:
Да се намери най-малкото естествено число n, което е решение на неравенството [tex]2^{n }[/tex] > [tex]n^{2 }[/tex] + 3n + 5

[pal702004]

С такова условие задачата е за дебили, а не СУ
Най-простото е да провериш за $n=1,2,\cdots$ докато стигнеш до $6$. Те това ще е най-малкото.
Ако задачата беше: Да се докаже, че за всички естествени $ \ge 6$ е изпълнено неравенството, то най просто е с мат.индукция.

Ако $2^k>k^2+3k+5$, то

$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(k^2+3k+5)>(k+1)^2+3(k+1)+5$

с база $k=6$

Може и с диференциране, разбира се, функцията вляво расте мого по-бързо., но няма смисъл, става въпрос за естествени числа.

[Гост]

Ако беше уравнение, как би могло да се докаже, че то има единствено решение и че то лежи в отворения интервал (5; 6)? Може ли някакво решение или упътване в общи черти?

[Гост]

Малко двусмислие се е получило, да се чете:

Ако беше уравнение, как би могло да се докаже, че то има единствено решение, което лежи в отворения интервал (5; 6)? Може ли някакво решение или упътване в общи черти?

[Гост]

Ако беше уравнение, как би могло да се докаже, че то има единствено решение и че то лежи в отворения интервал (5; 6)? Може ли някакво решение или упътване в общи черти?

Да ама то не е УРАВНЕНИЕ, а е НЕРАВЕНСТВО

[S.B.]

И аз погледнах условието.То е:
Най-малкото естетвено число решение на неравенството:
[tex]2^{ n} > n^{2 } + 3n + 5[/tex]
е:
А) $6$ ;Б) $5$ ; В) $4$ ; Г) $3$

Колегата pal702004 е абсолютно прав!
Задачата се решава "на ум" по метода на изключването.Явно е,че трябва да знаеш степените на [tex]2^{n }[/tex],а не да ги смяташ там на изпита.
[tex]2^{6 } = 64, 2^{5 } = 32[/tex]
За другите стойности няма смисъл да се говори изобщо, защото [tex]2^{3 } = 8, 2^{4 } = 16[/tex] и като се има предвид израза от дясната страна лесно се преценява,че те отпадат веднага.

[Гост]

Ако беше уравнение, как би могло да се докаже, че то има единствено решение и че то лежи в отворения интервал (5; 6)? Може ли някакво решение или упътване в общи черти?

Да ама то не е УРАВНЕНИЕ, а е НЕРАВЕНСТВО

Да и вече са дали упътване как би могло да се реши неравенството. Затова съм написал условието "АКО беше уравнание", какъв би бил подходът. От чисто любопитство.

[Гост]

Ако беше уравнение, как би могло да се докаже, че то има единствено решение и че то лежи в отворения интервал (5; 6)? Може ли някакво решение или упътване в общи черти?
Да ама то не е УРАВНЕНИЕ, а е НЕРАВЕНСТВО

Да и вече са дали упътване как би могло да се реши неравенството. Затова съм написал условието "АКО беше уравнание", какъв би бил подходът. От чисто любопитство.

Да образуваме функцията $f(x)=2^x-x^2-3x-5$

Имаме, че $f(5)=-13$ и $f(6)=5$ - за $x=5$ и $x=6$ знаците на $f(x)$ са различни. Интуитивно е ясно, че ако функцията е непрекъсната, както е в случая, нейната графика ще пресича абсцисната ос между точките с абсциси 5 и 6. Или с други думи, съществува реално число $x_0\in(5;6)$, за което $f(x_0)=0$. Последното твърдение е теорема от математическия анализ, която може да се докаже, като делим интермала $(5;6)$ на два еднакво дълги чрез средната точка $x=5,5$, после взимаме този от тях, в който попада корена. Понеже $f(5,5)\approx-6,5<0\Rightarrow f(5,5).f(6)<0$, взимаме подинтервала $(5,5;6)$, отново го делим на два еднакво дълги... и продължаваме, докато дължината на интервала стане по-малка от предварително дадено реално число $\varepsilon>0$.

Понеже можем да направим интервала, съдържащ корена, произволно малък, това ни дава гаранция, че коренът съществува и се намира във всеки от интервалите $(a;b)$, за които $f(a).f(b)<0$

[Гост]

А за да бъде решението ЕДИНСТВЕНО, трябва $f'(x)>0\ \ \forall x\in[5;6]$

$f'(x)=2^xln2-2x-3\Rightarrow f'(5)=32ln2-13>32.0,5-13>0$

[Гост]

Функцията $f(x)=2^x-x^2-3x-5$ във Wolfram

[Гост]

А за да бъде решението ЕДИНСТВЕНО, трябва $f'(x)>0\ \ \forall x\in[5;6]$

$f'(x)=2^xln2-2x-3\Rightarrow f'(5)=32ln2-13>32.0,5-13>0$

Това не го разбрах. Как положителността на първата производна в интервала (5; 6) ни гарантира единственото решение?

[ptj]

А за да бъде решението ЕДИНСТВЕНО, трябва $f'(x)>0\ \ \forall x\in[5;6]$

$f'(x)=2^xln2-2x-3\Rightarrow f'(5)=32ln2-13>32.0,5-13>0$

Това не го разбрах. Как положителността на първата производна в интервала (5; 6) ни гарантира единственото решение?

Ако една функция е непрекъсната в даден интервал, то при пробягването на интервала тя приема поне по веднъж всяка функционална стойност ограничена от нейните локални минимум и максимум.

В случая функцията ни е непрекъсната и дифернцируема в затворения интервал [tex][5;6][/tex], затова без загува на общност може да продължим разглежданията е него. Положителната първа производна ни гарантира, че във въпросния интервал фукцията е строго растяща и непрекъсната, т.е. тя ще приема всяка стойност между [tex]f(5)[/tex] и [tex]f(6)[/tex] точно веднъж.

В частност за дадената задача имаме [tex]f(5)<0[/tex] и [tex]f(6)>0[/tex]. Тогава съгласно горния извод ще има само една стойност [tex]x_0 \in(5;6)[/tex], за която [tex]f(x_0)=0[/tex].

[Гост]

Ако една функция е непрекъсната в даден интервал, то при пробягването на интервала тя приема поне по веднъж всяка функционална стойност ограничена от нейните локални минимум и максимум.

В случая функцията ни е непрекъсната и дифернцируема в затворения интервал [tex][5;6][/tex], затова без загува на общност може да продължим разглежданията е него. Положителната първа производна ни гарантира, че във въпросния интервал фукцията е строго растяща и непрекъсната, т.е. тя ще приема всяка стойност между [tex]f(5)[/tex] и [tex]f(6)[/tex] точно веднъж.

В частност за дадената задача имаме [tex]f(5)<0[/tex] и [tex]f(6)>0[/tex]. Тогава съгласно горния извод ще има само една стойност [tex]x_0 \in(5;6)[/tex], за която [tex]f(x_0)=0[/tex].
________________________

Да, това го прави единствено решение в интервала (5; 6), а как се доказва, че е единствено реално решение на цялото уравнение

[ptj]

Ако сте разбрали решението не би трябвало да задавате този въпрос.

Изследвайте първата производна на функцията, когато тя е положителна функцията е строго растяща и непрекъсната (теоремата за връзка между диференфируемост и непрекъснатост).
Изводите са аналогични на написаните по-горе за [tex][5;6][/tex].

[Гост]

Ето схематична графика

Графика на функция.png (33.77 KiB) Прегледано 416 пъти

$f(x)=2^x-x^2-3x-5=2^x-(x^2+2.1,5.x+1,5^2)+1,5^2-5=2^x-(x+1,5)^2-2,75$

$x\leq0\Rightarrow f(x)<2^0-0^2-2,75<0\Rightarrow f(x)=0$ няма решение.

$f'(x)=2^x.ln2-2x-3$

$f''(x)=2^x.(ln2)^2-2$

$f''(x_0)=0\Rightarrow x_0=log_2\left(\frac{2}{(ln2)^2}\right)\approx2,057532746$

$x\in[0;x_0]\Rightarrow f''(x)<0\Rightarrow f'(x)$ е монотонно намаляваща.

$f'(0)=ln2-3<0;\ f'(x_0)<f'(0)<0\ (f'(x_0)\approx 2^2ln2-7<-4,22)$

$x\in[x_0;+\infty)\Rightarrow f''(x)>0\Rightarrow f'(x)$ монотонно расте.

$\Rightarrow\exist x_1\in(x_0;+\infty), x\in[x_0;x_1] \to f'(x)\leq0;\ x\in[x_1;+\infty)\to f'(x)\geq0\Rightarrow f'(x_1)=0$

$\Rightarrow x\in[x_0;x_1]\to f(x)<0;\ \exist x_2>x_1,\ x_2$ - единствено, $f(x_2)=0$