Геометрична задача за триъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] със страни $AB = c , BC = a ,AC = b$ и ъглополовящи [tex]AL_{1 }, (L_{1 } \in BC ), B L_{2 }, (L_{2 } \in AC ). C L_{3 }, (L_{3 } \in AB)[/tex]. [tex]S_{ABC } = S[/tex].
Да се докаже:

а)
[tex]S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } = 2S. \frac{abc}{(a + b)(b + c)(a + c)}[/tex]

б)
Ако [tex]L_{1 } L_{1 }[/tex] разполовява [tex]CL_{3 }[/tex] ,то дължините на страните на [tex]\triangle ABC - a,b,c[/tex] , образуват аритметична прогресия.

[ptj]

Първата се решава само с формули за лице на триъгъкник и свойство на ъглополовящата (съотношения на лица на триъгълници),
а втората със свойство на ъглополовящата и вектори.

[Гост]

Първата се решава само с формули за лице на триъгъкник и свойство на ъглополовящата (съотношения на лица на триъгълници),
а втората със свойство на ъглополовящата и вектори.

Може ли решение?

[ptj]

Първата част:

[tex]CL_1:L_1B=b:c[/tex]

[tex]BL_3:L_3A=a:b[/tex]

[tex]AL_2:L_2C=c:a[/tex]

[tex]S_{L_1BL_3}:S_{ABC}= \frac{ac}{(a+b)(b+c)}[/tex]

[tex]S_{L_3AL_2}:S_{ABC}= \frac{bc}{(a+b)(a+c)}[/tex]

[tex]S_{L_2CL_1}:S_{ABC}= \frac{ab}{(a+c)(b+c)}[/tex]

[tex]S_{L_1L_2L_3}=S_{ABC}-(S_{L_1BL_3}+S_{L_3AL_2}+S_{L_2CL_1})[/tex]

[tex]S_{L_1L_2L_3}=S_{ABC}\bigg(1-\Big( \frac{ac}{(a+b)(b+c)} + \frac{ab}{(a+c)(b+c)} + \frac{ab}{(a+c)(b+c)} \Big)\bigg)[/tex]

[tex]S_{L_1L_2L_3}:S_{ABC}= \frac{(a+b)(b+c)(a+c)-ac(a+c)-bc(b+c)-ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=[/tex]

[tex]=\frac{(a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2)-(a^2c+ac^2)-(b^2c+bc^2)-(a^2b+ab^2)}{(a+b)(b+c)(a+c))}= \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c))}[/tex]

[ptj]

Втората част:

Всеки два ненулеви и неколинеарни помежду си вектора [tex](\vec{e_1};\vec{e_2})[/tex]в равнината образуват база.

При това всеки произволен вектор [tex]\vec{g}[/tex] в нея (равнината) се изразява по единствен начин чрез базовите вектори,

т.е. [tex]\vec{g}=m_1.\vec{e_1}+m_2.\vec{e_2}[/tex], като съответната двойка [tex](m_1;m_2) \in R^2[/tex] е единствена.

[tex]CL_3 \cap L_2L_1={т.M}[/tex]

[tex]CL_3:L_A=a:b \Leftrightarrow \vec{CL_3}= \frac{b}{a+b}\vec{CB}+ \frac{a}{a+b}\vec{CA}[/tex]

[tex]\vec{CM}= \frac{1}{2}\vec{CL_3}[/tex]

Нека [tex]L_1M:ML_2=k:1[/tex]

[tex]\vec{CM}= \frac{1}{k+1}\vec{CL_1}+ \frac{k}{k+1}\vec{CL_2}= \frac{1}{k+1}. \frac{b}{b+c}.\vec{CB}+ \frac{k}{k+1}. \frac{a}{a+c}.\vec{CA}[/tex]

[tex]\vec{CL_3}=2.\vec{CM}=\frac{1}{k+1}. \frac{2b}{b+c}.\vec{CB}+ \frac{k}{k+1}. \frac{2a}{a+c}.\vec{CA}[/tex]

Получихме две различни изразявания на [tex]\vec{CL_3}[/tex] чрез базата [tex](\vec{CB};\vec{CA})[/tex].

Съгласно текста написан в зелено това е възможно само когато:

[tex]\frac{b}{a+b}= \frac{1}{k+1}. \frac{2b}{b+c}[/tex] и [tex]\frac{a}{a+b}=\frac{k}{k+1}. \frac{2a}{a+c}[/tex] (*)


т.е. [tex]\frac{b+c}{2(a+b)}= \frac{1}{k+1}[/tex] и [tex]\frac{a+c}{2(a+b)}= \frac{k}{k+1}[/tex]

сл. [tex]k= \frac{a+c}{b+c}[/tex]

[tex]k+1= \frac{a+b+2c}{b+c} \Rightarrow \frac{k}{k+1}= \frac{a+c}{a+b+2c}[/tex]

Нека заместим полученото в (*):

[tex]\frac{a}{а+b}= \frac{a+c}{a+b+2c}. \frac{2a}{a+c} \Leftrightarrow 2a+2b=a+b+2c \Leftrightarrow a+b=2c \Leftrightarrow a-c=c-b[/tex]


П.П.
Не съм сигурен дали горния метод на неопределени коефициенти се изучава извън МГ (или при подготовка за състезания). По-принцип всички задачи за съотношения могат освен с вектори да се решават и с помощта на Теорема на Талес.

Колкото до самата формулировка на задачата:
За мен не е изцяло коректна, защото равностранен триъгълник изпълнява условието, но при определението за прогресия се иска разликата й да е различна от нула. Последното очевидно няма да е изпълнено в този случай. По-добре беше да се иска доказателство за [tex]a-c=c-b[/tex].

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] със страни $AB = c , BC = a ,AC = b$ и ъглополовящи [tex]AL_{1 }, (L_{1 } \in BC ), B L_{2 }, (L_{2 } \in AC ). C L_{3 }, (L_{3 } \in AB)[/tex]. [tex]S_{ABC } = S[/tex].
Да се докаже:

а)
[tex]S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } = 2S. \frac{abc}{(a + b)(b + c)(a + c)}[/tex]

б)
Ако [tex]L_{1 } L_{1 }[/tex] разполовява [tex]CL_{3 }[/tex] ,то дължините на страните на [tex]\triangle ABC - a,b,c[/tex] , образуват аритметична прогресия.

Без заглавие - 2024-07-23T224734.207.png (378.03 KiB) Прегледано 646 пъти

Още един поглед върху задачата
а)
$$S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } = S_{ABC } - ( S_{A L_{3 } L_{2 } } + S_{B L_{1 } L_{3 } } + S_{C L_{1 } L_{2 } })$$
Нека:
[tex]S_{A L_{3 } L_{2 } } = S_{1 } , S_{B L_{3 } L_{1 } } = S_{2 } , S_{C L_{1 } L_{2 } } = S_{3 }[/tex]
[tex]BL_{1 } = x \Rightarrow C L_{1 } = a - x , CL_{2 } = y \Rightarrow A L_{2 } = b - y , A L_{3 } = z \Rightarrow B L_{3 } = c - z[/tex]

От свойството на ъглополовящата:
За [tex]AL_{1 } : \frac{x}{a - x} = \frac{c}{b} \Rightarrow x = \frac{ac}{b+c} ; a - x = \frac{ab}{b + c}[/tex]
Аналогично се получава :
[tex]y = \frac{ab}{a + c} ; b- y = \frac{ac}{a + c}[/tex]
[tex]z = \frac{bc}{a + b} ; c - z = \frac{ac}{a + b}[/tex]

[tex]S_{1 } = \frac{z(b - y)}{2}\sin A ; S_{2 } = \frac{x(c - z)}{2}.\sin B ; S_{3 } = \frac{y(a - x)}{2}\sin C[/tex]

Определям [tex]\sin A[/tex]:
[tex]S_{ABC } = \frac{bc}{2}\sin A \Leftrightarrow S = \frac{bc}{2}\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{2S}{bc}[/tex]
Аналогично се получават:
[tex]\sin B = \frac{2S}{ac} ; \sin C = \frac{2S}{ab}[/tex]

Определям лицата [tex]S_{1 } , S_{2 } , S_{3 }[/tex]:

[tex]S_{1 } = \frac{x(b - y)}{2} .\sin A \Leftrightarrow S_{1 } = \frac{1}{2}. \frac{bc}{a + b} . \frac{bc}{a + c} \frac{2S}{bc} = \frac{S.bc}{(a+b)(a + c)}[/tex]
Аналогично се получават:
[tex]S_{2 } = \frac{S.ac}{(a + b)(b + c)} ; S_{3 } = \frac{S.ab}{(b+ c)(a + c)}[/tex]

[tex]S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } = S - ( S_{1 } + S_{2 }+ S_{3 }) = S - ( \frac{Sbc}{(a+b)(a + c)} + \frac{Sac}{(a + b)(b + c)} + \frac{Sab}{(b+c)(a + c)} ) =.......[/tex]

Стискаш зъби,мобилизираш максимално вниманието и волята си и след известно време получаваш това,което и аз получих:

$$S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } = 2S \frac{abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}$$

б)
По условие [tex]L_{1 } L_{2 }[/tex] разполовява [tex]C L_{3 }[/tex]
[tex]L_{1 } L_{2 } \cap C L_{3 } = M[/tex]
[tex]L_{1 }M[/tex] е медиана в [tex]\triangle C L_{3 } L_{1 } \Rightarrow S_{CM L_{1 } }= S_{M L_{1 } L_{3 } }[/tex]
Аналогично [tex]ML_{2 }[/tex] е медиана в [tex]\triangle C L_{2 } L_{3 } \Rightarrow S_{C L_{2 }M } = S_{M L_{2 } L_{3 } }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ L_{1 } L_{2 } C} = S_{ L_{1 } L_{2 } L_{ } }\Leftrightarrow S_{3 } = S_{ L_{1 } L_{2 } L_{3 } } $$
Замествам с изразите които получих в първата част на задачата и получавам:

[tex]\frac{S.ab}{(a + c)(b + c)} = 2S \frac{abc}{(a + b)(a+c)(b+c)} \Leftrightarrow 1 = \frac{2c}{a +b}[/tex]
[tex]\Rightarrow a + b = 2c[/tex],което е необходимо и достатъчно условие дължините на страните $a,b$ и $c$ да образуват аритметична прогресия:
$$\div a,c,b$$

[Гост]

На чертежа по-долу ъгъл ECD = 2 (ъгъл CDB), BC=6, BE=9, BD=10. Намерете дължината на CD и CE.

20240804_222615.jpg (510.78 KiB) Прегледано 548 пъти

[Гост]

Геометрична задача-page-001.jpg (189.26 KiB) Прегледано 506 пъти

Геометрична задача-page-002.jpg (36.05 KiB) Прегледано 506 пъти

[S.B.]

На чертежа по-долу ъгъл ECD = 2 (ъгъл CDB), BC=6, BE=9, BD=10. Намерете дължината на CD и CE.

Прикачения файл 20240804_222615.jpg вече е недостъпен

Без заглавие - 2024-08-14T130757.112.png (429.25 KiB) Прегледано 291 пъти

Още един поглед върху задачата
[tex]\angle BDC = \alpha , \angle ECD = 2 \alpha[/tex]
Четириъгълникът $BCDE$ е вписан [tex]\Rightarrow \angle DBE = \angle ECD = 2 \alpha[/tex]
$BL$ и $CL$ са ъглополовящи съответно на [tex]\angle DBE[/tex] и [tex]\angle DCE[/tex] , като [tex]L \in \overset{\displaystyle\frown}{DE}[/tex]
$BLDC$ и $BELC$ са вписани четириъгълници за които ще докажем ,че са трапеци.

Трапец е четириъгълник,на който две от страните са успоредни,но другите две не са

Четириъгълник $BLDC$ :
[tex]\angle LBD = \angle BDC = \alpha[/tex], ъглите са кръстни [tex]\Rightarrow CD || BL[/tex]
[tex]\overset{\displaystyle\frown}{BCDL} > \overset {\displaystyle\frown}{CD} \Rightarrow[/tex] за прилежащите им хорди имаме $BL > CD$ [tex]\Rightarrow BC[/tex] и $DL$ не са успоредни
[tex]\Rightarrow BLDC[/tex] е трапец вписан в окръжността и е равнобедрен.
[tex]\Rightarrow LD = BC = 6 , CL = BD = 10[/tex]

Четириъгълник $BELC$ :

[tex]\angle EBL = \angle BLC = \alpha[/tex],ъглите са кръстни [tex]\Rightarrow BE || LC[/tex]
$BE = 9 , CL = 10 $ [tex]\Rightarrow BE < CL \Rightarrow BC[/tex] и $EL$ не са успоредни
[tex]\Rightarrow BELC[/tex] е също равнобедрен трапец и $BC = EL = 6$.

В трапеца $BELC$ построявам [tex]EP \bot CL[/tex]
[tex]PL = \frac{1}{2} ,PC = \frac{19}{2}, EC = d[/tex]
За [tex]\triangle PEL[/tex] и [tex]\triangle EPC[/tex] прилагам Питагорова теорема:

[tex]\begin{cases} EP^{2 } = EL^{2 } - PL^{2 } \\ EP^{2 } = EC^{2 } - CP^{2 } \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} EP^{2 } = 36 - \displaystyle \frac{1}{4} \\ EP^{2 } = d^{2 } - \displaystyle \frac{361}{4} \end{cases} \Rightarrow d^{2 } - \displaystyle \frac{361}{4} = 36 - \displaystyle \frac{1}{4}[/tex]

[tex]d^{2 } = 126 \Rightarrow d = \sqrt{126}[/tex]
$$\Rightarrow EC = \sqrt{126} $$

[tex]BL = EC = \sqrt{126}[/tex] (като диагонали в равнобедрен трапец)

В трапеца $BLDC$ построявам [tex]CQ \bot BL[/tex]
[tex]CD = x , BL = \sqrt{126} , BQ = \frac{ \sqrt{126} - x }{2} , QL = \frac{ \sqrt{126} + x }{2} ,BC = 6 ,CL = 10[/tex]
За [tex]\triangle BQC[/tex] и [tex]\triangle LQC[/tex] прилагам Питагорова теорема:

[tex]\begin{cases} CQ^{2 } = BC^{2 } - BQ^{2 } \\ CQ^{2 } = CL^{2 }- QL^{2 } \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} CQ^{2 } = 6^{2 } - ( \displaystyle\frac{ \sqrt{126} - x }{2}) ^{2 } \\ CQ^{2 } = 10^{2 } - (\displaystyle \frac{ \sqrt{126} + x }{2}) ^{2 } \end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow 36 - ( \frac{ \sqrt{126} - x }{2}) ^{2 } = 100 - ( \frac{ \sqrt{126 + x} }{2} )^{2 } \Leftrightarrow ( \frac{ \sqrt{126}+ x }{2}) ^{2 } - ( \frac{ \sqrt{126} - x }{2}) ^{2 } = 64[/tex]
[tex]\frac{ \sqrt{126} + x + \sqrt{126} - x}{2} . \frac{ \sqrt{126}+ x - \sqrt{126} + x}{2} = 64[/tex]
[tex]\frac{2 \sqrt{126} }{2}. \frac{2x}{2} = 64 \Leftrightarrow x \sqrt{126} = 64 \Leftrightarrow x = \frac{64}{ \sqrt{126} } \Leftrightarrow x = \frac{64}{ \sqrt{126} } \Leftrightarrow x = \frac{64 \sqrt{126} }{126}[/tex]
$$\Rightarrow CD = x = \frac{32 \sqrt{126} }{63}$$