Параметрични уравнения

[theogonzalez]

Ако а е реален параметър, намерете стойностите на а,за които уравнението има 4 реални различни корена
(а+6)x^{4}- 4(a-1)x^{2}+ 9(a+6)=0
Може ли някой да ми помогне с решаването на тази задача.

[ammornil]

Ако а е реален параметър, намерете стойностите на а,за които уравнението има 4 реални различни корена
[tex](а+6)x^{4}- 4(a-1)x^{2}+ 9(a+6)=0[/tex]
Може ли някой да ми помогне с решаването на тази задача.

Едно предложение за решение но не ми се рови в учебниците, затова по спомен... Мисълта ми е, може да не е точно... Освен това, работих преобразуванията в ТЕХ така, че разгледайте за технически грешки. Успех!

Скрит текст: покажи

Понеже в параметризирането на квадратни тричлени за коефициентите на многочлена обикновено се използват първите букви на латинската азбука, може да настъпи объркване в означенията при решаване на задачи със свободен параметър, затова е добре да подбирате означенията в теорията когато я представяте в решения на задачи. В тази задача ще стигнем до момент, в който ще се иска всички решения на квадратен тричлен да са неотрицателни.[tex]\\ f(u)=pu^{2}+qu+s, \quad \because u_{1,2}\ge{0} \hspace{1em} \forall f(u)=0 \Rightarrow \begin{array}{|l}p\cdot{}f(0)\ge{}0\\D\ge 0\\-\frac{\normalsize{q}}{\normalsize{2p}}\ge{}0 \end{array}[/tex]

[tex](a+6)x^{4}- 4(a-1)x^{2}+ 9(a+6)=0 \\ u=x^{2}, \exists x_{1,2,3,4} \Rightarrow u\ge{}0 \hspace{1em} \forall a \in \mathbb{R} \\ (a+6)u^{2}- 4(a-1)u+ 9(a+6)=0 \\ u_{1,2}\ge{0} \Rightarrow \begin{array}{|l}(a+6)\cdot{}9(a+6)\ge{}0 \\ [2(a-1)]^{2}-(a+6)\cdot{}[9(a+6)]\ge{} 0 \\ -\frac{\normalsize{-4(a-1)}}{\normalsize{2\cdot{}9(a+6)}}\ge{0} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l}9(a+6)^{2}\ge{}0 \\ [2(a-1)]^{2}-[3(a+6)]^{2}\ge{} 0 \\ \frac{\normalsize{a-1}}{\normalsize{a+6}}\ge{0} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}9(a+6)^{2}\ge{}0 \\ [2a-2-(3a+18)]\cdot[2a-2+(3a+18)]\ge{} 0 \\ (a-1)(a+6)\ge{0} \end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l}9(a+6)^{2}\ge{}0 \\ -(a+20)(5a+16)\ge{} 0 \\ (a-1)(a+6)\ge{0} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}9(a+6)^{2}\ge{}0 \\ 5(a+20)(a+\frac{16}{5})\le{} 0 \\ (a-1)(a+6)\ge{0} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}\forall{a}\in\mathbb{R} \\ a\in\left[-20;-3\frac{1}{5} \right]\\ a \in (-\infty;-6)\cup (1;+\infty) \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ a\in[-20;-6) $$

[ammornil]

Една корекция на горното: [tex]\\ \because x_{1}\ne{}x_{2}\ne{}x_{3}\ne{}x_{4} \Rightarrow \\ f(u)=pu^{2}+qu+s, \quad \because u_{1,2}\ge{0} \hspace{1em} \forall f(u)=0 \Rightarrow \begin{array}{|l}p\cdot{}f(0)\ge{}0\\D> 0\\-\frac{\normalsize{q}}{\normalsize{2p}}\ge{}0 \end{array}[/tex]

[ptj]

Понеже оригиналното уравнение е би-квадратано, то то има 4 реални корена когато:

I.) [tex]a\ne-6[/tex] (уравнението има 4 корена за [tex]x[/tex], не е ясно колко са реални и колко комплексни).

II.) [tex]\frac{D}{4} =4(a-1)^2-9(a+6)^2=(2a-2+3a+18)(2a-2-3a-18)=(5a+16)(-a-20)>0 \Leftrightarrow a \in (-20;-3 \frac{1}{5})[/tex]

Гарантира наличието на два различни реални корена за [tex]x^2[/tex].

III.) От формулите на Виет : произведението на горните два реални корена за [tex]x^2[/tex] е

[tex]\frac{9(а+6)}{а+6}=9>0[/tex],

сл. те са с еднакви знаци.

IV.) Отново от формулите на Виет сумата на вече споменатате 2 корена за [tex]x^2[/tex] e:

[tex]\frac{4(a-1)}{a+6}>0 \Leftrightarrow a \in((-\infty;-6) \cup (1;\infty))[/tex]

(т.е. и двата са положителни.)

Окончателно от I,II,III и IV намираме:

[tex]a \in (-20;-6)[/tex]

П.П. Наличието на два различни положителни корена за [tex]x^2[/tex] гарантира наличието на 4 различни реални корена за [tex]x[/tex].