Задача за изпит Логаритъм с два параметъра

[pepi23]

20241011_094351.jpg (349.83 KiB) Прегледано 365 пъти

[KOPMOPAH]

Не е ясно колко е основата на втория логаритъм, Ако е десетичен (което ме съмнява ), трябва да е $\lg$, а не $\log$. Най-вероятно е $b$ или степен на $b$, за да се мисли за решение, но няма да гадая

[pepi23]

Десетичен логаритъм е

[S.B.]

Десетичен логаритъм е

Не е десетичен логаритъм.Задачата е давана на конкурсен изпит в УНСС през 1996 година като втора задача.Основата на втория логаритъм е [tex]b[/tex].

[pepi23]

Може ли да помогнете

[S.B.]

Задачата е давана на конкурсен изпит в УНСС през 1996 г.Условието е:
Да се реши неравенството :
$$ \log_{|x - a| }b. \log_{b }[- x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } - a + 2] \ge 1$$
където a и b са реални параметри.

Допустими стойности:
[tex]b > 0 , b \ne 1[/tex]

[tex]|x - a|> 0 \Leftrightarrow x \ne a , |x - a| \ne 1 \Leftrightarrow \begin{cases} x - a \ne 1\\ -(x - a) \ne 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne a + 1 \\ x \ne a - 1\end{cases}[/tex]

[tex]- x^{2 } + (2a + 1) x - a^{2 }- a + 2 >0 \Rightarrow x \in (a - 1; a + 2)[/tex]

Получих за допустимите стойности:
$$x \in (a - 1 ; a) \cup (a; a + 1) \cup (a + 1;a + 2)$$

За даденото уравнение прилагам формулата [tex]\log_{u }v. log_{v }w = \log_{u }w[/tex] и получавам:

[tex]\log_{|x - a| }b. \log_{b } [ - x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } -a + 2] \ge 1 \Leftrightarrow \log_{|x - a| }[- x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } - a + 2] \ge 1[/tex]

Неравенството ще разгледам над трите интервала на допустимите стойности:

$$1) x \in (a - 1;a)$$

Тук [tex]|x - a| = a - x >0 , a - x < 1[/tex]
[tex]\log_{|x - a| }[- x^{2 } + (2a +1)x - a^{2 } - a + 2] \ge 1 \Leftrightarrow \log_{a - x }[- x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 }- a + 2 \ge \log_{a - x }(a - x)[/tex]
[tex]\Rightarrow - x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } - a + 2 \ge a - x \Leftrightarrow x^{2 } -2(a + 1)x + a^{2 } + a -2 \ge 0[/tex]

Решенията на това неравенство са :
[tex]x \in ( - \infty ; a + 1 - \sqrt{3} ; a + 1 + \sqrt{3}, + \infty)[/tex]
Решенията за интервала над който разглеждам неравенството са:
$$x \in (a -1;a + 1 - \sqrt{3} ]$$

$$2) x \in (a ; a + 1)$$
За този интервал [tex]|x - a| = x - a> 0 , x - a< 1[/tex]

[tex]- x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } - a +2 \le x - a \Leftrightarrow x^{2 } - 2ax + a^{2 } - 2 \ge 0[/tex]
Тук решенията са :[tex]x \in (- \infty ; a - \sqrt{2}] \cup [a + \sqrt{2} ; + \infty )[/tex] , но те НЕ принадлежат на интервала над който работим.

$$3) x \in (a + 1;a + 2)$$

За този интервал [tex]|x - a| = x - a> 0, x - a>1[/tex]
[tex]- x^{2 } + (2a + 1)x - a^{2 } - a + 2 \ge x - a \Leftrightarrow x^{2 } - 2ax + a^{2 }-2 \le 0[/tex]
Решенията са :[tex]x \in [a - \sqrt{2} ; a + \sqrt{2} ][/tex] ,но решението,което принадлежи на нашия интервал е [tex]x \in (a + 1;a + \sqrt{2}][/tex]

След като обобщим решенията от трите интервала, окончателно получаваме решението на даденото неравенство:
$$x \in (a - 1; a + 1 - \sqrt{3}] \cup(a + 1 ; a + \sqrt{2}] $$