Ту София

[Гост]

Задача 27

[batsev]

За сума 3 имаш 1+2 или 2+1, т.е 2 случая. За сума 4 - 2+2, 1+3, 3+1 общо 5 случая.
За двете заедно 7, а 2 зара дават общо 36. Значи 7/36 е търсената вероятност.

[Гост]

Благодаря Ви. 29 как би се решавала?

[ptj]

29.)
Лесно се вижда, че [tex]\triangle ADC \cong \triangle BDC[/tex] (4-ти признак)., сл. [tex]AC=BC[/tex]

Нека т.[tex]Е[/tex] е среда на AB.

[tex](DEC) \bot (ABC)[/tex]

[tex]V_{AECD}= \frac{1}{2}V_{ABCD}[/tex]

Нека [tex]F[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]C[/tex] в равнината [tex](ABD)[/tex].

[tex]BC=CA \Rightarrow BF=FA[/tex], сл. [tex]F[/tex] лежи на симетралата [tex]ED[/tex].

[tex]DB>CB>BF[/tex] заради правите ъгли и сл. [tex]F[/tex] e между [tex]D[/tex] и [tex]Е[/tex].

[tex]V_{ABCD}= \frac{1}{3}S_{ABD}.CF = \frac{1}{3} \frac{2.2.sin (\alpha) }{2}.DB.sin(\angle CDE)= \frac{2sin( \alpha )}{3}.1.sin(\angle CDE)[/tex]

Нека [tex]K[/tex] е петата на перпендикуляра от [tex]C[/tex] към [tex]DB[/tex].

Косинусова теорема за тристенен ъгъл:

[tex]cos(\angle CDK)=cos(\angle KDF).cos(\angle CDF)[/tex]

[tex]\frac{1}{2}=cos( \frac{ \alpha }{2} ).cos(\angle CDF)[/tex]

[tex]cos(\angle CDF)= \frac{1}{2cos( \frac{ \alpha }{2}) }[/tex]

...

[batsev]

[tex]V_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex].CD.[tex]\frac{1}{3}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex].[tex]\frac{1}{3}[/tex]
AB=2.2.sin[tex]\frac{a}{2}[/tex] Нека DH[tex]\bot[/tex]AB[tex]\Rightarrow[/tex]CH[tex]\bot[/tex]AB, т.H - среда на AB
[tex]\Rightarrow[/tex]DH=2.cos[tex]\frac{a}{2} \Rightarrow CH^{2 }[/tex]= 4[tex]cos a/2^{2 }[/tex] - 1, CH = [tex]\sqrt{4cos^2 a/2 - 1}[/tex]
S = CH.AB.[tex]\frac{1}{2}[/tex]=2.sin[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\sqrt{4cos^2 a/2 - 1}[/tex]=2.[tex]\sqrt{5cos^2 a/2 - 1-4cos^4 a/2}[/tex]
За max V трябва подкоренната величина да е с max стойност [tex]\Rightarrow[/tex] ни трябва производната и.
Тя е -5. cos[tex]\frac{a}{2}[/tex].sin[tex]\frac{a}{2}[/tex] - 8.cos^3 [tex]\frac{a}{2}[/tex].sin [tex]\frac{a}{2}[/tex]
=-cos[tex]\frac{a}{2}[/tex].sin[tex]\frac{a}{2}[/tex](5 - 8cos^2 a/2)[tex]\Rightarrow[/tex]екстремуми при cos[tex]\frac{a}{2}[/tex] = [tex]\pm \sqrt{5/8}[/tex]
Това е, ако някъде не съм объркал сметките

[ptj]

[tex]V_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex].CD.[tex]\frac{1}{3}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex].[tex]\frac{1}{3}[/tex]
AB=2.2.sin[tex]\frac{a}{2}[/tex] Нека DH[tex]\bot[/tex]AB[tex]\Rightarrow[/tex]CH[tex]\bot[/tex]AB, т.H - среда на AB
[tex]\Rightarrow[/tex]DH=2.cos[tex]\frac{a}{2} \Rightarrow CH^{2 }[/tex]= 4[tex]cos a/2^{2 }[/tex] - 1, CH = [tex]\sqrt{4cos^2 a/2 - 1}[/tex]
S = CH.AB.[tex]\frac{1}{2}[/tex]=2.sin[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\sqrt{4cos^2 a/2 - 1}[/tex]=2.[tex]\sqrt{5cos^2 a/2 - 1-4cos^4 a/2}[/tex]
За max V трябва подкоренната величина да е с max стойност [tex]\Rightarrow[/tex] ни трябва производната и.
Тя е -5. cos[tex]\frac{a}{2}[/tex].sin[tex]\frac{a}{2}[/tex] - 8.cos^3 [tex]\frac{a}{2}[/tex].sin [tex]\frac{a}{2}[/tex]
=-cos[tex]\frac{a}{2}[/tex].sin[tex]\frac{a}{2}[/tex](5 - 8cos^2 a/2)[tex]\Rightarrow[/tex]екстремуми при cos[tex]\frac{a}{2}[/tex] = [tex]\pm \sqrt{5/8}[/tex]
Това е, ако някъде не съм объркал сметките

Решението ти е на практика е същото като моето по-горе, но пропуска ти е, че не търсиш максимум на обема, а не на лице.

На практика функцията, която изследваш трябва да е умножена с [tex]cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]. Производната не е лесна за пресмятане именно в този вид.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Може да използваме друга формула за обем : 1/6 от произдедението на два срещуполжни ръба,ос-отсечката между тях и синуса на ъгъла между тези два ръба.

Според моите означения (от предишното мнение ) това са ръбовете [tex]DC,AB[/tex] и тяхната трансвезала [tex]CE[/tex].

[tex]AB=2.2.sin( \frac{ \alpha }{2} )[/tex]

[tex]CE^2=CB^2-EB^2=DB^2-CD^2-EB^2=2^2-1^2-(2 sin( \frac{ \alpha }{2} ))^2[/tex]

[tex]CE= \sqrt{3-4sin^2( \frac{ \alpha }{2} )}=\sqrt{ \frac{sin(3 \alpha )}{sin( \alpha )} }[/tex]

[tex]V_{ABCD}= \frac{1}{6}CD.AB.CE.sin( \varphi )= \frac{1}{6}.1.4sin( \frac{ \alpha }{2} ).\sqrt{ \frac{sin(3 \alpha )}{sin( \alpha )} }.1= \frac{2}{3} \sqrt{sin (\alpha).sin(3 \alpha) }=[/tex]

[tex]= \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{1}{2} (cos \alpha -cos(3 \alpha ))}[/tex]

Нека [tex]f(x)=cos(x)-cos(3x), 0<x< \pi[/tex]

[tex]f'(x)=3 sin(3x)-sin(x)=2sin(x)(3cos(2x)+1)[/tex]

[tex]f'(x)[/tex] се нулира единствено при [tex]cos(2x)=-\frac{1}{3}[/tex]

съответната стойност [tex]cos(x)= \sqrt{ \frac{cos(2x)+1}{2} }= \sqrt{\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]f"(x)=9cos(3x)-cos(x)[/tex]

съответната стойност за втората производна ще е : [tex]9.(4cos^3(x)-3cos(x)) - cos(x)=36. \frac{1}{3 \sqrt{3} }-28 \frac{1}{ \sqrt{3} }= \frac{-16}{ \sqrt{3} }[/tex]

Сл. функцията [tex]f(x)[/tex] и съответно [tex]V_{ABCD}[/tex] имат максимум при [tex]cos(\alpha)= \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex].

(За да е пълно решението трябва да обясните защо ъгъла между кръстосаните ръбове е прав и също защо при положителна функция , корен квадратен от самата функция расте или намаля в съшите интервали като самата нея.)

П.П. Моето мнение е, че ако искате да решавате подобна задача на изпит трябва да имате перфекти знания по стереометрия, тригонометрия и анализ (изследване на функции). Освен това шанса за техническа грешка при работа под напрежение е много голям.
Ако задачата беше за СУ не бих се учудил, но за ТУ тя е прекалено амбициозна.

[batsev]

Е на обема търся, нали имаме височината (CD = 1), т.е. тя е константа, и съответно обема зависи от лицето на основата.

[ptj]

Извинявай, едва сега видях, че използваш друга основа.

Остава да проверя защо резултата ти е различен от моя (може би съм направил грешка някъде), но сега нямам време.

[batsev]

Извинявай, едва сега видях, че използваш друга основа.

Остава да проверя защо резултата ти е различен от моя (може би съм направил грешка някъде), но сега нямам време.

А, няма грижи. По-скоро моят резултат е доста вероятно да е грешен, понеже го написах на прима виста, не съм го проверявал.