ТУ София 29

[Гост]

Не знам как да започна

[peyo]

Не знам как да започна

Аз имам !
Да предположим, че основата е [tex]\square[/tex] ergo:
$a^2=\sqrt{3}$
$a = \sqrt[4]{3}$
Ъгъл 45[tex]^\circ[/tex], ergo равнобедрен [tex]\triangle[/tex],
$h = a = \sqrt[4]{3}$


ergo значи значи

[peyo]

Не знам как да започна

Аз имам !
Да предположим, че основата е [tex]\square[/tex] ergo:
$a^2=\sqrt{3}$
$a = \sqrt[4]{3}$
Ъгъл 45[tex]^\circ[/tex], ergo равнобедрен [tex]\triangle[/tex],
$h = a = \sqrt[4]{3}$


ergo значи значи

Доста сигурен съм, че решението ми не е вярно.

[Гост]

Може би чертеж ще помогне...

Пирамида.png (31.48 KiB) Прегледано 318 пъти

От даденото условие следва, че $S_{ABCD}=H.\sqrt{3}H=\sqrt{3}\Rightarrow H=1$

[Гост]

Може би се чудите защо $BC=\sqrt{3}H$?

$ABCD$ - правоъгълник $\Rightarrow BC=AD$, а от правоъгълния $\Delta EAD\Rightarrow \frac{H}{AD}=tg30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BC=AD=\frac{H}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=H\sqrt{3}$

[S.B.]

Не знам как да започна

Още един поглед върху задачата:
Винаги се започва с чертежа!

Без заглавие - 2024-12-28T132316.529.png (232.1 KiB) Прегледано 316 пъти

Стената $ABM$ е наклонена към основата по ъгъл [tex]45^\circ[/tex]
$AD$ е проекция на $AM$ върху равнината на основата.[tex]AD \bot AB \Rightarrow AM \bot AB[/tex] (според Теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]\begin{cases} AD \bot AB \\ AM \bot AB\end{cases} \Rightarrow \angle MAD[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините $ABM$ и $ABCD$ ,където $AB$ е пресечницата на двете равнини.
[tex]\angle MAD = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle AMD[/tex] е равнобедрен,правоъгълен и $AD = DM$
С аналогични разсъждения установяваме,че [tex]\angle MCD = 30 ^\circ[/tex], тъй като е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнината $MBC$ и $ABCD$ с пресечница $BC$
Нека $AB = CD= b > 0$ , $AD = BC = a > 0$
За [tex]\triangle ADM[/tex] получаваме, че $DM = AD = a$
За [tex]\triangle DCM : \angle MCD = 30 ^\circ \Rightarrow MC = 2DM \Leftrightarrow MC = 2a[/tex]
За [tex]\triangle MCD[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]CM^{2 } = DM^{2 } + CD^{2 } \Leftrightarrow 4 a^{2 } = a^{2 } + b^{2 } \Rightarrow 3 a^{2 } = b^{2 }[/tex]
По условие [tex]S_{ABCD } = \sqrt{3}[/tex]
Комбинирам двете равнства и получавам системата:

[tex]\begin{array}{|l} ab = \sqrt{3} \\ 3 a^{2 } = b^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b = \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{a} \\ 3 a^{2 } = b^{2 } \end{array} \Leftrightarrow 3 a^{2 } =\displaystyle \frac{3}{ a^{2 } } \Leftrightarrow a^{2 } - \displaystyle\frac{1}{ a^{2 } } = 0 \Leftrightarrow (a + \displaystyle\frac{1}{a})(a - \displaystyle\frac{1}{a}) = 0[/tex]
[tex]a + \frac{1}{a} \ne 0[/tex] (ЗАЩО?)
[tex]a - \frac{1}{a} = 0 \Rightarrow a^{2 } = 1 \Rightarrow a = 1[/tex] защото [tex]a > 0[/tex]
$$\Rightarrow DM = 1$$

[ptj]

Не знам как да започна

Не ти трябват никакви чертежи, трябва да ги проектираш само в мозъка си:

Тръгваш от там, че върха се проектира във връх на основата , а два от наклонени ръбове към него се явават апотеми в двете околни стени, които не са перпендикулярни на основата.

Разглеждаш триъгълниците образувани от ръбовете в перпендикулярните на основата околни стени:

За двата основни ръба получаваш, че са [tex]a=h.ctg(30 ^\circ)[/tex] и [tex]b=h.ctg(45 ^\circ)[/tex].

T.e. [tex]a:b=ctg(30 ^\circ):ctg(45 ^\circ )= \sqrt{3}[/tex]

Лицето на основата е [tex]ab= \sqrt{3}[/tex].

Умножаваме равенствата от последните два реда почленно и намираме [tex]а^2=3 \Rightarrow a= \sqrt{3} \Rightarrow h= \frac{a}{ctg(30 ^\circ) }= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }=1[/tex]