СУ КСК

[Гост]

Стигам до квадратно урванение за a, получавам отговор, който е част от дадения, но не знам как да получа и другите решения

[Гост]

Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението има точно 1 решение.

[ammornil]

$ \dfrac{a\cdot{}2^{x}+1}{2^{x}-2} - \dfrac{a\cdot{}2^{x}-1}{2^{x}-3}= a \\[12pt] \quad{} \text{ДМ:} \quad{} \begin{array}{|l} 2^{x}-2 \ne{}0 \\ 2^{x}-3\ne{}0 \end{array} \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} \begin{array}{|l} 2^{x} \ne{}2 \\ 2^{x}\ne{}3 \end{array} \quad{}\Leftrightarrow{}\quad{} \begin{array}{|l} x \ne{}1 \\ x\ne{}\log_{2}{3} \end{array} \\[12pt] : 2^{x}=u, \quad{} x=\log_{2}{u} \quad{} \text{Дu:} \quad{} \begin{array}{|l} u>0 \\ u\ne{}2 \\ u\ne{}3 \end{array} \\[12pt] \dfrac{au+1}{u-2}-\dfrac{au-1}{u-3}=a \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} (u-3)(au+1)-(u-2)(au-1)=a(u-2)(u-3) \\[6pt] \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} au^{2}+u-3au-3-(au^{2}-u-2au+2)=a(u^{2}-3u-2u+6) \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} au^{2}+u-3au-3-au^{2}+u+2au-2= au^{2}-5au+6a \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} \\[6pt] au^{2}-5au-2u+au+6a+5=0 \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} au^{2}-2(2a+1)u+6a+5=0 \\[12pt] \exists{} u_{1}=u_{2}>0 \Rightarrow (2a+1)^{2}-a\cdot{}(6a+5)=0 \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} 4a^{2}+4a+1-6a^{2}-5a=0 \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} -2a^{2}-a+1=0 \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} 2a^{2}+a-1=0 \\[6pt] \quad{} \Rightarrow{} \quad{} a_{1,2}=\dfrac{-1\pm{}\sqrt{1^{2}-4\cdot{}2\cdot{}(-1)}}{2\cdot{}2} \quad{} \Leftrightarrow{} \quad{} a_{1,2}=\dfrac{-1\pm{}3}{4} \quad{} \Rightarrow{} \quad{} \begin{cases} a_{1} = -2 \\ a_{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

ОСтава да проверите дали за всяко получено [tex]a[/tex] решенията за [tex]u_{1}=u_{2}[/tex] принадлежат на дефиницията.

[Гост]

Благодаря Ви. Ясно, двата случая когато има 1 решение е когато а) D=0 и б) стане линейно у-е
Но вижте в отговорите какво е, това не разбирам

[ammornil]

Прав(а) сте. Пропуснал съм едно решение, тогава когато уравнението е линейно, тоест при $a=0$.$ \\[12pt] $

Скрит текст: покажи

$ a=0 \rightarrow \quad \dfrac{1}{2^{x}-2} - \dfrac{-1}{2^{x}-3}= 0 \\[6pt] \hspace{5em} 2^{x} - 3+2^{x}-2=0 \\[6pt] \hspace{5em} 2\cdot{}2^{x}=5 \\[6pt] \hspace{5em} 2^{x}=\dfrac{5}{2} \\[6pt] \hspace{5em} x=log_{2}{5}-1 $

$ \\[12pt] $Освен това съм пресметнал грешно първото решение. За $a$ се получава $a_{1,2}=\dfrac{-1\pm{}3}{4}$ от където $ \begin{cases} a_{1}=-1 \\[6pt] a_{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases} $. $ \\[12pt] $Окончателно имаме три решения: $$ a \in{} \left\{-1; 0; \dfrac{1}{2} \right\} $$ $ \\[24pt] $ За съжаление, аз не виждам други възможни решения, когато се търси единствен корен на уравнението. Интервали обикновено се получават когато се търсят положителни или отрицателни решения, или решения по-големи или по-малки от дадена стойност, и т.н. Може би някой от математиците ще хвърли светлина (разяснение) за посочените решения.

[batsev]

Прав(а) сте. Пропуснал съм едно решение, тогава когато уравнението е линейно, тоест при $a=0$.$ \\[12pt] $

Скрит текст: покажи

$ a=0 \rightarrow \quad \dfrac{1}{2^{x}-2} - \dfrac{-1}{2^{x}-3}= 0 \\[6pt] \hspace{5em} 2^{x} - 3+2^{x}-2=0 \\[6pt] \hspace{5em} 2\cdot{}2^{x}=5 \\[6pt] \hspace{5em} 2^{x}=\dfrac{5}{2} \\[6pt] \hspace{5em} x=log_{2}{5}-1 $

$ \\[12pt] $Освен това съм пресметнал грешно първото решение. За $a$ се получава $a_{1,2}=\dfrac{-1\pm{}3}{4}$ от където $ \begin{cases} a_{1}=-1 \\[6pt] a_{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases} $. $ \\[12pt] $Окончателно имаме три решения: $$ a \in{} \left\{-1; 0; \dfrac{1}{2} \right\} $$ $ \\[24pt] $ За съжаление, аз не виждам други възможни решения, когато се търси единствен корен на уравнението. Интервали обикновено се получават когато се търсят положителни или отрицателни решения, или решения по-големи или по-малки от дадена стойност, и т.н. Може би някой от математиците ще хвърли светлина (разяснение) за посочените решения.

Когато имаш 2 корена за u, но единия е <= 0, това също ще доведе до точно 1 корен като решение. Ако ми остане време по-късно ще пробвам да го разпиша.

[Гост]

Благодаря Ви. Защо в решението което пратих са тествали u=2 и 3? Не е ли извън ДС

[batsev]

По спомен, за да е число между корените на квадратно у-е, то a. f([tex]\alpha[/tex]) < 0. В случая [tex]\alpha[/tex]=0, a=a, f([tex]\alpha[/tex]) = 6a+5. Или имаме
a.(6a+5) < 0 [tex]\Rightarrow[/tex] a[tex]\epsilon[/tex](-[tex]\frac{5}{6}[/tex];0). Проверяват u = 2, и u = 3, понеже стойността на a, за която [tex]u_{1 }[/tex] = 2, води и до друг корен [tex]u_{2 }[/tex], който ако е от ДС, ще е единствен корен за съответната стойност на a. Същото важи и за [tex]u_{1 }[/tex] = 3. Отделно имаме и решенията, които колегата е намерил.

[ptj]

Благодаря Ви. Защо в решението което пратих са тествали u=2 и 3? Не е ли извън ДС

Защото са спали!
Естествено, че е извън дефиниционната област, защото израза в условието няма да е дефиниран (деление на нула).