Ромб

[Гост]

$ABCD$ е ромб със страна $a$.Точките $M$ и $K$ са среди съответно на страните $AB$ и $AD$.Ако [tex]\angle DMC = \gamma[/tex] да се намери лицето на [tex]\triangle KCM[/tex]

[Гост]

Решението е комбинация от решенията на 1-а и 2-а задача от темата, към която е даден линк по-долу.

viewtopic.php?f=50&t=33722

[S.B.]

$ABCD$ е ромб със страна $a$.Точките $M$ и $K$ са среди съответно на страните $AB$ и $AD$.Ако [tex]\angle DMC = \gamma[/tex] да се намери лицето на [tex]\triangle KCM[/tex]

Без заглавие - 2025-01-03T115815.993.png (300.82 KiB) Прегледано 305 пъти

Нека [tex]\angle BAD = \alpha < 90 ^\circ , \angle ABC = 180 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]S_{ABCD } = a^{2 }\sin \alpha ; S_{AMK } = \frac{1}{2}. \frac{a}{2}. \frac{a}{2}\sin \alpha = \frac{ a^{2 } }{8}\sin \alpha ; S_{MBC } = S_{KCD } = \frac{1}{2}.a. \frac{a}{2} \sin(180 ^\circ- \alpha) = \frac{ a^{2 } }{4}\sin \alpha[/tex]

[tex]S_{KCM } = S_{ABCD } - ( S_{AMK } - 2 S_{MBC } ) \Leftrightarrow S_{KCM } = a^{2 } \sin \alpha - ( \frac{ a^{2 } }{8}\sin \alpha+ 2. \frac{ a^{2 } }{4}\sin \alpha ) \Leftrightarrow a^{2 }\sin \alpha - \frac{5 a^{2 } }{8}\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow S_{KCM } = \frac{3 a^{2 } }{8}\sin \alpha $$

За да го намерим се налага да изразим [tex]\sin \alpha[/tex] чрез функция на [tex]\angle \gamma[/tex]

Нека $DM = x,CM = y$
[tex]S_{DMC } =\frac{1}{2} S_{ABCD } \Rightarrow \frac{xy}{2} \sin \gamma = \frac{1}{2} a^{2 }\sin \alpha[/tex]
$$ \Rightarrow xy\sin \gamma = a^{2 }\sin \alpha$$

За [tex]\triangle DMC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]DC^{2 } = DM^{2 } + CM^{2 } - 2.DM.CM.\cos \gamma \Leftrightarrow a^{2 } = x^{2 } + y^{2 } - 2xy\cos \gamma[/tex]

За [tex]\triangle AMD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]DM^{2 } = AM^{2 } + AD^{2 } - 2AM.AD.\cos \alpha \Leftrightarrow x^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4} + a^{2 } - 2. \frac{a}{2}.a\cos \alpha \Rightarrow x^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{4}- a^{2 } \cos \alpha[/tex] (1)

За [tex]\triangle MBC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MC^{2 } = MB^{2 } + BC^{2 } - 2.MB.BC.\cos(180 ^\circ - \alpha ) \Leftrightarrow y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4} + a^{2 } + 2. \frac{a}{2}.a\cos \alpha \Rightarrow y^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{4}+ a^{2 } \cos \alpha[/tex] (2)

Събирам (1) с (2) и получавам :[tex]x^{2 } + y^{2 } = \frac{10 a^{2 } }{4} \Leftrightarrow x^{2 } + y^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} a^{2 } = x^{2 }+ y^{2 } - 2xy\cos \gamma \\ x^{2 }+ y^{2 } = \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{2} \end{cases} \Rightarrow a^{2 } = \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{2} - 2xy\cos \gamma[/tex]
$$ \Rightarrow xy\cos \gamma = \displaystyle \frac{3 a^{2 } }{4} $$
Образувам система от 2 уравнения с двете неизвестни: произведението $(xy)$ и [tex]\sin \alpha[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l} (xy)\sin \gamma = a^{2 } \sin \alpha \\( xy)\cos \gamma = \displaystyle \frac{3 a^{2 } }{4} \end{array}[/tex]
Деля почленно двете уравнения:

[tex]\displaystyle\frac{(xy)\sin \gamma }{(xy)\cos \gamma } = \frac{ a^{2 }\sin \alpha }{ \displaystyle\frac{3 a^{2 } }{4} }[/tex]
$$ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{4} \tg \gamma $$

[tex]\begin{cases} S_{KCM } = \displaystyle\frac{3 a^{2 } }{8}\sin \alpha \\ \sin \alpha = \displaystyle\frac{3}{4} \tg \gamma \end{cases} \Rightarrow S_{KCM } = \displaystyle\frac{3 a^{2 } }{8}. \frac{3}{4}\tg \gamma[/tex]
$$S_{KCM } = \frac{9}{32} a^{2 }\tg \gamma$$

[Гост]

Благодаря Ви!Само не разбрах защо лицето на [tex]\triangle DMC[/tex] е половината от лицето на ромба?

[Гост]

Благодаря Ви!Само не разбрах защо лицето на [tex]\triangle DMC[/tex] е половината от лицето на ромба?

Височината в триъгълника е равна на височината в ромба.

[Гост]

Височината в триъгълника е равна на височината в ромба.

Аз не виждам къде е използвана височината!Използвани са само ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\gamma[/tex] и страната на ромба.

[S.B.]

Аз не виждам къде е използвана височината!Използвани са само ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\gamma[/tex] и страната на ромба.

[tex]\begin{cases} S_{ABCD } = a.h \\ S_{ABCD } = a^{2 } \sin \alpha \end{cases} \Rightarrow ah = a^{2 } \sin \alpha[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{DMC } =\displaystyle \frac{ah}{2} \\ S_{DMC } = \displaystyle \frac{xy}{2}\sin \gamma \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{ah}{2 } = \displaystyle\frac{xy}{2}\sin \gamma[/tex]