Правоъгълен триъгълник

[Гост]

В правоъгълния триъгълник ABC ,височината към хипотенузата е CH.Периметрите на триъгълниците ACH и BCH са съответно 36 и 48.
Да се определят страните на [tex]\triangle[/tex] ABC.

[Евва]

Нека CH =12h (1)

[tex]\begin{array}{|l} \frac{AH}{CH} = \frac{AC}{BC} =\frac{ P_{AHC } }{ P_{CHB } } подобни/ тр-ци \\ CH^{2 } = AH.BH \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{AH}{CH} = \frac{AC}{BC}= \frac{36}{48}= \frac{3}{4} \Rightarrow AC=3a (2) ,BC=4a (3) \\ 144 h^{2 } = AH.BH \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{AH}{12h} =\frac{3}{4} ; AH=9h \\ 144 h^{2 } = 9h.BH ;BH=16h \end{array}[/tex]

Тогава AB=9h+16h =25h
a=? h=?
[tex]\begin{array}{|l} P_{AHC } + P_{HBC } = 36+ 48 \\ AC^{2 } +BC^{2 } = AB^{2 } \end{array}[/tex]


[tex]\begin{array}{|l} 9h+12h+3a+12h+16h+4a= 84 \\ 9 a^{2 }+16 a^{2 } = (25h)^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 49h+7a= 84 \\ 5a = 25h ; a=5h \end{array}[/tex]
49h+35h=84 ; h=1 [tex]\Rightarrow[/tex] a=5

Тогава CH=12h=12 ,AC=3a=15 ,BC=4a=20 ,AB=25h=25

[S.B.]

Без заглавие - 2025-01-07T120718.154.png (194.73 KiB) Прегледано 383 пъти

Ето още един поглед върху задачата

Нека [tex]AB = c ,\angle BAC = \alpha \Rightarrow \angle HCB = \alpha[/tex]

От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{AB} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{AC}{c}= \cos \alpha \Rightarrow AC = c.\cos \alpha[/tex]

От [tex]\triangle ACH \rightarrow \frac{AH}{AC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{AH}{c.\cos \alpha } = \cos \alpha \Rightarrow AH = c .\cos^{2 } \alpha[/tex]

От [tex]\triangle AHC \rightarrow \frac{CH}{AC}= \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{CH}{c.\cos \alpha } = \sin \alpha \Rightarrow CH = c.\cos \alpha \sin \alpha[/tex]

$$P_{AHC } = AC + HC + AH \Leftrightarrow 36 = c.\cos \alpha + c. \cos^{2 } \alpha + c.\sin \alpha\cos \alpha$$

От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{BC}{AB} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{BC}{c} = \sin \alpha \Rightarrow BC = c.\sin \alpha[/tex]

От [tex]\triangle HBC \rightarrow \frac{BH}{BC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{BH}{c.\sin \alpha } =\sin \alpha \Rightarrow BH = c. \sin^{2 } \alpha[/tex]
$$P_{BHC } = BH + BC + HC \Leftrightarrow 48 = c. \sin^{2 } \alpha + c.\sin \alpha + c.\cos \alpha \sin \alpha $$

Образувам системата:

[tex]\begin{array}{|l} c.\ cos^{2 } \alpha + c.\cos \alpha + c.\sin \alpha\cos \alpha = 36 \\ c. \sin^{2 } \alpha + c.\sin \alpha + c.\sin \alpha\cos \alpha = 48 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c.\cos \alpha( \cos \alpha +1 + \sin \alpha ) = 36 \\ c.\sin \alpha(\sin \alpha + 1 +\cos \alpha ) = 48 \end{array}[/tex]

След почленно деление на уравненията получавам [tex]\cotg \alpha = \frac{3}{4}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \cotg \alpha = \displaystyle \frac{3}{4} \\ \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \end{array} \Rightarrow \sin \alpha= \displaystyle \frac{4}{5} , \cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]

Замествам в уравнението:
[tex]c.\cos \alpha (\cos \alpha + 1 + \sin \alpha ) = 36 \Leftrightarrow c. \frac{3}{5} ( \frac{3}{5} +1 + \frac{4}{5}) = 36 \Rightarrow c = 25[/tex]
[tex]AC = c.\cos \alpha \Leftrightarrow AC = 25. \frac{3}{5} \Rightarrow AC = 15[/tex]
[tex]BC = c.\sin \alpha \Leftrightarrow BC = 25. \frac{4}{5} \Rightarrow BC = 20[/tex]
$$AB = 25,BC = 20, AC = 15$$

[Гост]

Може ли без много приказки да се каже, че периметрите на подобните триъгълници, каквито са посочените в условието, се отнасят както линейните им елементи, демек страните са 3:4:5. Нататък е ясно.

[Гост]

Ако си решил задачата по друг начин - представи своето решение!Никой не ти пречи!Това е форум.Но имай уважение към решенията на останалите колеги!Уважавай за да те уважават!

[Гост]

Благодаря на всички за решенията!

[ptj]

Още един поглед на 4 реда :

Имаме 3 подобни триъгълника. Периметрите на 2 от тях се отнасят като [tex]3:4[/tex], и това съотношение е равно на съответното за катетите в [tex]\triangle {ABC}[/tex],
т.е. [tex]tg( \beta )= \frac{3}{4}[/tex].

Страните на [tex]\triangle ACH[/tex] са 3x+4x+5x=36, т.е. те са 9,12 и 15.

Щом AC=15, то BC=20 и CA=25.

[peyo]

В правоъгълния триъгълник ABC ,височината към хипотенузата е CH.Периметрите на триъгълниците ACH и BCH са съответно 36 и 48.
Да се определят страните на [tex]\triangle[/tex] ABC.

Като гледам решенията досега, всички използват някакви хитри методи и никой не се опита да реши задачата с груба сила. Не мога да пропусна тази възможност да решим задачата със сложна система!

Нека страните са $a,b,c=c_1+c_2$ и височина $h$. Тогава:

[tex]\begin{array}{|l} c_1+c_2 = c \\ b+c_1+h=36 \\ a+c_2+h=48 \\ c_1^2+h^2 = b^2\\ c_2^2+h^2= a^2 \\ a^2 + b^2 = c^2 \end{array}[/tex]

Ok, решаването на тази система няма да е по силите на обикновените смъртни. Хм....

In [371]: solve([c_1+c_2 - c ,b+c_1+h-36 , a+c_2+h-48 , c_1**2+h**2 -b**2 , c_2**2+h**2-a**2 , a**2 + b**2 - c**2])
Out[371]:
[{a: -120, b: -90, c: 150, c_1: 54, c_2: 96, h: 72},
{a: 20, b: 15, c: 25, c_1: 9, c_2: 16, h: 12},
{a: 192/5 - 12*sqrt(6)/5,
b: 6*sqrt(6) + 54,
c: -138*sqrt(6)/5 - 42/5,
c_1: -18*sqrt(6) - 18,
c_2: 48/5 - 48*sqrt(6)/5,
h: 12*sqrt(6)},
{a: 12*sqrt(6)/5 + 192/5,
b: 54 - 6*sqrt(6),
c: -42/5 + 138*sqrt(6)/5,
c_1: -18 + 18*sqrt(6),
c_2: 48/5 + 48*sqrt(6)/5,
h: -12*sqrt(6)}]

Малко съм разочаровван, че няма комплексни решения, но поне отрицателните са ок.