Задача от УАСГ-2023 г

[Гост]

Можели някои да помогне за решаването на тази задача. Това е Зад.7 от изпита в УАСГ-2023 г. Условието е:
Окръжност k с диаметър ъглополовящата CL на остроъгълния ΔABC пресича страната AC и BC съответно в точки M и N.
в) Докажете, че MN ≥ S/R, където R и S са съответно радиуса на описаната окръжност и лицето на ΔABC.

[Гост]

Интересно...Тази задача няма ли подусловия а) и б) ?

[Гост]

УАСГ-page-001.jpg (224.66 KiB) Прегледано 267 пъти

[Евва]

Нека окр. описана около четириъг. LNCM има радиус r и пресича страната AB също и в т.H .
[tex]\triangle[/tex]LHC -правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] CH[tex]\bot[/tex]AB

Започваме разсъжденията от [tex]\frac{CL}{CH} \ge 1[/tex]
Равенство се достига при CL[tex]\equiv[/tex]CH т.е. при равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ABC (AC=BC)

[tex]\frac{CL}{CH} \ge[/tex] 1

[tex]\frac{2r}{CH} \ge[/tex] 1

[tex]\frac{MN}{CH.sin \gamma } \ge[/tex] 1

[tex]\frac{MN}{CH . \frac{AB}{2R} } \ge[/tex] 1

[tex]\frac{MN.R}{ S_{ABC } } \ge[/tex] 1 |. [tex]\frac{ S_{ABC } }{R}[/tex] >0

MN[tex]\ge \frac{ S_{ABC } }{R}[/tex]