Помощ за задача 27 от ТУ - 2019

[Гост]

476333141_8937416313036873_2160630216020764985_n.jpg (55.37 KiB) Прегледано 283 пъти

[ptj]

В триъгълника:

[tex]sin( \alpha)+sin( \beta )+ sin( \gamma ) =4 \big(cos( \frac{ \alpha }{2}). cos( \frac{\beta}{2}). cos( \frac{ \gamma }{2} )\big)[/tex]

[tex]2sin(\alpha+ \beta )=sin( \alpha )+ sin( \beta )[/tex]

[tex]2 sin(180 ^\circ - \gamma )+sin (\gamma)=sin( \alpha )+sin( \beta )+sin( \gamma ) =4 \big(cos( \frac{ \alpha }{2}). cos( \frac{\beta}{2}). cos( \frac{ \gamma }{2} )\big)[/tex]

[tex]3sin (\gamma)=4\big(cos( \frac{ \alpha }{2} ). cos( \frac{\beta}{2}) . cos( \frac{ \gamma }{2} )\big)[/tex]

[tex]6.sin( \frac{ \ \gamma }{2}).cos (\frac{ \gamma }{2} )=4\big(cos( \frac{ \alpha }{2} ). cos( \frac{\beta}{2}) . cos( \frac{ \gamma }{2} )\big)[/tex]

[tex]3 sin( \frac{ \gamma }{2})=2 cos( \frac{ \alpha }{2}).cos( \frac{ \beta }{2} )[/tex]

[tex]3 sin( 90 ^\circ - \frac{ \alpha+ \beta }{2})=2 cos( \frac{ \alpha }{2}).cos( \frac{ \beta }{2} )[/tex]

[tex]3 cos( \frac{ \alpha+ \beta }{2} )=2 cos( \frac{ \alpha }{2}).cos( \frac{ \beta }{2} )[/tex]

[tex]3\big(cos \frac{ \alpha }{2}.cos \frac{ \beta }{2}-sin( \frac{ \alpha }{2})sin( \frac{ \beta }{2} )\big)=2 cos( \frac{ \alpha }{2}).cos( \frac{ \beta }{2} )[/tex]

[tex]1-tg( \frac{ \alpha }{2} ).tg (\frac{ \beta }{2}) = \frac{2}{3}[/tex]

[tex]tg( \frac{ \alpha }{2} ).tg (\frac{ \beta }{2}) = \frac{1}{3}[/tex]

[Евва]

(2 начин) В [tex]\triangle[/tex]АВС вписваме окр.K( O;r )
Нека окр. К се допира до страните АВ ,ВС и АС в т.Н ,т.Т и т.Е
Отбелязваме AH= m ,BH= n и CE=t .

2sin[ 180[tex]^\circ[/tex]- ([tex]\alpha+ \beta[/tex]) ] =sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\beta[/tex]

2sin[tex]\gamma[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\beta[/tex]

2.[tex]\frac{m+n}{2R} =\frac{n+t}{2R}+ \frac{m+t}{2R}[/tex]

t =[tex]\frac{m+n}{2}[/tex] (1) тогава [tex]P_{ABC }[/tex]=3(m+n) (2)

Ойлерови формули
tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex].tg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex] =[tex]\sqrt{ \frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} } . \sqrt{ \frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)} }[/tex]= [tex]\frac{p-c}{p}= \frac{2p-2c}{2p} = \frac{ P_{ABC } -2(m+n) }{ P_{ABC } } виж (2)[/tex]

= [tex]\frac{3(m+n) -2(m+n)}{3(m+n)} = \frac{m+n}{3(m+n)} = \frac{1}{3}[/tex]

[Гост]

trigo-page-001.jpg (62.72 KiB) Прегледано 253 пъти