Остроъгълен триъгълник

[Yonana_Uzunova]

Здравейте, предстои ми изпит по математика в СУ и се нуждая от малко помощ с решението на задача 7. Моля някой да ми помогне.

[Гост]

Означаваме $AH=2a$ и $BH=a$.

$\Delta AHC$ - правоъгълен и $\angle HAC=45^\circ\Rightarrow\angle ACH=45^\circ\Rightarrow\Delta AHC$ - равнобедрен $\Rightarrow AH=HC=2a$ и $AC=2\sqrt{2}a$.

$\Delta ABC\to AB=AH+HB=2a+a=3a;\ AC=2$ и с Косинусова Теорема намираме $BC^2=AB^2+AC^2-2AB.BC.cos45^\circ=9a^2+8a^2-2.3a.2\sqrt{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=17a^2-12a^2=5a^2$

От друга Косинусова Теорема за същия триъгълник намираме $cos\angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{8a^2+5a^2-9a^2}{2.2\sqrt{2}a.a\sqrt{5}}=\frac{4a^2}{4\sqrt{10}a^2}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

[S.B.]

Без заглавие - 2025-03-05T104801.869.png (181.97 KiB) Прегледано 245 пъти

Още един поглед върху задачата
[tex]CH \bot AB, \angle CAB = 45 ^\circ \Leftrightarrow \angle CAH = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle CAH[/tex] е правоъгълен,равнобедрен и $AH = HC$
[tex]\begin{cases} AH: HB = 2:1 \\ AH = CH \end{cases} \Rightarrow HB:CH = 1:2[/tex]
Нека [tex]\angle HCB = \varphi \Rightarrow \angle ACB = 45 ^\circ + \varphi \Rightarrow \cos \angle ACB = \cos(45 ^\circ + \varphi)[/tex]
По условие [tex]\triangle ABC[/tex] е остроъгълен [tex]\Rightarrow \varphi + 45 ^\circ < 90 ^\circ \Rightarrow \varphi < 45 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle HBC \rightarrow \tg \varphi = \frac{BH}{HC} = 1:2 \Rightarrow \frac{\sin \varphi }{\cos \varphi } = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \varphi = 2\sin \varphi[/tex]
[tex]\sin^{2 } \varphi + \cos^{2 } \varphi = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \varphi + 4 \sin^{2 } \varphi = 1 \Leftrightarrow 5 sin^{2 } \varphi = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \varphi = \frac{1}{5}[/tex]
$$\sin \varphi = \frac{1}{ \sqrt{5} }, \cos \varphi = \frac{2}{ \sqrt{5} } $$
[tex]\cos \angle ACB = \cos(45 ^\circ + \varphi ) = \cos 45 ^\circ \cos \varphi - \sin 45 ^\circ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{2}{ \sqrt{5} } - \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{1}{ \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{2} }{2 \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{2} }{2 \sqrt{5} }. \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \angle ACB = \frac{1}{ \sqrt{10} } $$