Квадрат и координатна система

[Yonana_Uzunova]

Здравейте, предстои ми кандидатстване в СУ и се подготвям за изпит, но срещам затруднения с решаването на тези две задачи: 8 и 9. Моля за съдействие. ☺️

[Darina73]

зад.8
(1) [tex]S_{BOF }[/tex]= S=?
[tex]\triangle[/tex]FOD[tex]\approx \triangle[/tex] COB (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ S_{FOD } }{ S_{COB } } =\frac{ FD^{2 } }{ BC^{2 } } =\frac{9}{16}[/tex]
Да означим [tex]S_{FOD }[/tex] с 9L , тогава [tex]S_{COB }[/tex]=16L .
[tex]S_{FBD }= S_{FCD }[/tex] (равни страни (FD ) и равни височини )
Тогава [tex]S_{FBD }- S_{FOD }= S_{FCD } -S_{FOD }[/tex] ; [tex]S_{FBO } =S_{OCD }[/tex]
Значи [tex]S_{OCD }[/tex] =S(виж(1))

Втрху чережа отбелязваме лицата [tex]S_{ABF } =2 ,S_{BOF } =S ,S_{OCD } =S ,S_{COB } =16L ,S_{FOD }=9L[/tex] .

[tex]\begin{array}{|l} S+16L = \frac{ 4^{2 } }{2} \\ S+9L+2 = \frac{ 4^{2 } }{2} \end{array}[/tex]

Решаваме системата и търсим само S,получавам отг. А)

[KOPMOPAH]

Допускам, че се очаква решение със средствата на аналитичната геометрия, доколкото са зададени прави в координатна система, макар че всяко решение, даващо правилен отговор, е приемливо.

Координатите на върховете на триъгълника се намират от решенията на системите:$$\begin{array}{|l} x - 4y + 3 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{array}~~~~\begin{array}{|l} x - 4y + 3 = 0 \\ 5x + 2y - 29 = 0 \end{array}~~~~\begin{array}{|l} 5x + 2y - 29 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{array}~~~~$$
Получаваме$$A(1,1),~~ B(5,2),~~ C(3,7)$$
А лицето на триъгълник по зададени координати е:$$S_{ABC}=\frac 12 \begin{vmatrix}x_A&y_A&_1\\ x_B&y_B&_1\\x_C&y_C&_1 \end{vmatrix}$$

[KOPMOPAH]

Квадрат.png (5.59 KiB) Прегледано 280 пъти

Триъгълниците $\triangle BOF$ и $\triangle COD$ са равнолицеви, защото са получени от изваждането на $\triangle DOF$ от равнолицевите $\triangle BFD$ и $\triangle CFD$.

Триъгълниците $\triangle DOF$ и $\triangle COB$ са подобни по трети признак, следователно лицата им се отнасят както квадратите на съответните им линейни елементи:$$\displaystyle {\frac{S_2}{S_3}}=\displaystyle {\frac{9}{16}}~~~~~~~~~~(1)$$

$$S_{FBD}=S_2+S_3=6~~~~~~~~~~(2)$$
$$S_{BCD}=S_1+S_3=8~~~~~~~~~~(3)$$
От уравненията $(1)$, $(2)$ и $(3)$ съставяме система с три неизвестни:$$\begin{array}{|l} \frac{S_2}{S_3}=\frac{9}{16} \\S_2+S_1=6\\S_1+S_3=8 \end{array}$$откъдето се получава, че $S_1=\frac {24}7$.

[Darina73]

9 зад. Може да построим през т.A хоризонтална и вертикална права ,пез т. C хоризонтална ,през т. B вертикална права .
Четирите пресечни точки на тези 4 прави оформят правоъгълник AMNL .

[tex]S_{ABC } +S_{AMB } +S_{BNC } +S_{ACL } = S_{AMNL }[/tex]

[tex]S_{ABC }+ \frac{AM.BM}{2} +\frac{BN.CN}{2}+ \frac{AL.CL}{2}[/tex]= AM.AL

[tex]S_{ABC } + \frac{4.1}{2} +\frac{5.2}{2} +\frac{6.2}{2}[/tex] =4.6

[tex]S_{ABC }[/tex]+2+5+6 =24
[tex]S_{ABC }[/tex] =11 отг.А)