Куб и уравнение f(x)

[Yonana_Uzunova]

Здравейте, предстои ми изпит по математика за кандидатстване в СУ. Имам нужда от помощ за две задачи.
Задача 15 и 16.
Моля някой да ми покаже как се решават.

[Davids]

15 задача:
Понеже пиша от телефон, ще оставим чертежа на читателя, макар че би съкратил писаниците доста. И тъй, действаме с три питагорови теореми плюс формула на Херон:
От Питагор за $\triangle ABE \Rightarrow AE = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$
От Питагор за $\triangle EC_1B_1 \Rightarrow EC_1 = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$
От Питагор за $\triangle AC_1C \Rightarrow AC_1 = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$

Имаме трите страни на триъгълника, оттук нататък атакуваме с формула на Херон, според която:
$S_{AEC_1} = \sqrt{p(p-AE) (p-EC_1)(p-AC_1)}$,
където $p = \frac{AE + EC_1 + AC_1}{2}$ е полупериметърът на триъгълника.

Само че сметката излиза много гнусна, пък това не е баш характерно за принципно нагласените сметки в задачите на такива формати. Но както казваше асистентката ми по линейна алгебра: "Нищо страшно няма, просто числа"

[Davids]

16. задача:
$f(x) = \sqrt{a}x^2 + 6ax - (a+144)$
За а) търсим дискриминантата $D$ и гоним да покажем, че $D > 0$, което е равносилно на два различни корена на $f$. Това става лесно, тъй като

$D = \underbrace{36a^2}_{>0} + 4\underbrace{\sqrt{a}} _{>0}(\underbrace{\sqrt{a}+144}_{>144>0}) > 0$ сравнително очевидно.
Сега за б), а именно минималната стойност на $|x_1-x_2|$, подхождаме с формули на Виет и малко хитро пренаписване на:
$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$

За да минимизираме този израз е достатъчно да минимизираме подкоренната величина, а именно: $(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Тук се позоваваме на формулите на Виет, според които:
$x_1 + x_2 = -6\sqrt{a}$
$x_1x_2 = - 1 - \frac{144}{\sqrt{a}}$

И тъй търсим да минимизираме
$g(a) := 36a + 4\left(1+\frac{144}{\sqrt{a}}\right)$

И тук сега не съм сигурен доколко с новите модули се изучават производни в училище, ама не се сетих за нещо по-елегантно, затова директно търсим нулите на първата производна:
$g'(a) = 36 - 288a^{-\frac{3}{2}} = 0$

Откъдето излиза $a=4$

[Darina73]

Ако пресечем куба с дадената равнина ,мисля че ще получим четириъгълник .

[peyo]

Ако пресечем куба с дадената равнина ,мисля че ще получим четириъгълник .

От триъгълник до шестоъгълник мисля. (без петоъгълник може би?!)

[Darina73]

Според мен сечението е делтоид .
Има ли програма за чертане на сечения ?

[peyo]

Според мен сечението е делтоид .
Има ли програма за чертане на сечения ?

И петоъгълник се оказа, че е възможен:

https://www.geogebra.org/3d/hfk7hxzz

[Гост]

$F\in DD_1,DF:D_1F=2:1$

Търсеното сечение $AEC_1F$ е успоредник.

И, както Davids е намерил: $AE=\frac{\sqrt{10}}{3};\ AF=\frac{\sqrt{13}}{3};\ EF=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{19}{9}}=\frac{\sqrt{19}}{3}$

Нека $\angle EAF=\alpha$. Косинусова теорема за $\Delta EAF\Rightarrow cos\alpha=\frac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\frac{\frac{4}{9}}{2\cdot\frac{\sqrt{130}}{9}}=\frac{2}{\sqrt{130}}$

За да използваме формулата за лице на успоредник $S_{AEC_1F}=AE.AF.sin\alpha$, намираме $sin\alpha=\sqrt{1-\frac{4}{130}}=\sqrt{\frac{63}{65}}$

$S_{AEC_1F}=AE.AF.sin\alpha=\frac{\sqrt{130}}{9}\cdot\sqrt{\frac{63}{65}}=\frac{\sqrt{2.63}}{9}=\frac{\sqrt{14}}{3}$

$$S_{AEC_1F}=\frac{\sqrt{14}}{3}$$

[Davids]

Опаля, спал съм. Абсолютни глупости съм писал с тоз триъгълник за 15-та, да се чете критично

[S.B.]

$F\in DD_1,DF:D_1F=2:1$

Търсеното сечение $AEC_1F$ е успоредник.

И, както Davids е намерил: $AE=\frac{\sqrt{10}}{3};\ AF=\frac{\sqrt{13}}{3};\ EF=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{19}{9}}=\frac{\sqrt{19}}{3}$

Нека $\angle EAF=\alpha$. Косинусова теорема за $\Delta EAF\Rightarrow cos\alpha=\frac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\frac{\frac{4}{9}}{2\cdot\frac{\sqrt{130}}{9}}=\frac{2}{\sqrt{130}}$

За да използваме формулата за лице на успоредник $S_{AEC_1F}=AE.AF.sin\alpha$, намираме $sin\alpha=\sqrt{1-\frac{4}{130}}=\sqrt{\frac{63}{65}}$

$S_{AEC_1F}=AE.AF.sin\alpha=\frac{\sqrt{130}}{9}\cdot\sqrt{\frac{63}{65}}=\frac{\sqrt{2.63}}{9}=\frac{\sqrt{14}}{3}$

$$S_{AEC_1F}=\frac{\sqrt{14}}{3}$$

Без заглавие - 2025-03-16T175622.613.png (327.42 KiB) Прегледано 500 пъти

От мен е чертежа!
Аз получих същия отговор:
$$S_{AE C_{1 } F} = \frac{ \sqrt{14} }{3} $$