ТУ задачи

[antoniy]

Здравейте, ще съм благодарен ако някой ми помогне с ето тези две задачи, тъй като аз опитах, ама нещо не ми се получава

[ammornil]

$[29] \\[6pt] \dfrac{x^{2}+ax}{x^{2}+x+1}<2 \\[6pt] \quad \text{ДМ:}\quad x^{2}+x+1\ne{}0 \rightarrow D_{d}<0 \Rightarrow \forall{x}\in{\mathbb{R}} \\[6pt] \quad \boxed{\red{+1}}x^{2}+x+1 \quad \begin{cases} 1>0 \\ D_{d}<0 \end{cases} \quad \Rightarrow x^{2}+x+1 > 0 \hspace{1em} \forall{x}\in{\mathbb{R}} \\[12pt] \dfrac{x^{2}+ax}{x^{2}+x+1}-2 <0 \\[6pt] \dfrac{x^{2}+ax -2x^{2}-2x-2}{x^{2}+x+1}<0 \quad |\cdot{}(x^{2}+x+1) \overset{>}{\ne{}}0 \\[6pt] -x^{2}+(a-2)x-2 < 0 \quad |\cdot{}(-1) \\[6pt] x^{2}-(a-2)x+2>0 \\[6pt] \quad \because x^{2}-(a-2)x+2>0 \hspace{1em} \forall{x}\in{\mathbb{R}} \quad \Rightarrow D= (a-2)^{2} -4\cdot{}1\cdot{}2 <0 \\[6pt] (a-2)^{2} -(2\sqrt{2})^{2}<0 \\[6pt] (a -2 -2\sqrt{2})(a -2 +2\sqrt{2}) <0 \quad \Rightarrow a \in{} (2-2\sqrt{2}; 2+2\sqrt{2})\\[24pt]$ Проверете сметките за изчислителни грешки и грешки при пренасянето, защото пиша директно в LATEX.

[ammornil]

$$ \sin^{2}{x}= 1 -\cos^{2}{x} \\[6pt] \cos^{2}{\dfrac{x}{2}}= \dfrac{1 +\cos{x}}{2} $$
$2\sin^{2}{x} +6\cos^{2}{\dfrac{x}{2}}= 5 -2k \quad \Leftrightarrow \quad 2(1-\cos^{2}{x}) +6\dfrac{1 +\cos{x}}{2}= 5-2k \quad \Leftrightarrow \quad 2 -2\cos^{2}{x}+3 +3\cos{x} -5 +2k= 0 \\[6pt] 2\cos^{2}{x}-3\cos{x} -2k=0 \\[6pt] \cos{x}=u, \quad -1\le{}u\le{}1 \\[6pt] 2u^{2} -3u -2k =0, \quad -1\le{}u\le{}1 \\[6pt] \begin{array}{|l} (-3)^{2} -4\cdot{}2\cdot{}(-2k) \ge{} 0 \\[6pt] 2\cdot{}[2\cdot{}(-1)^{2} -3\cdot{}(-1)-2k] \ge{}0 \\[6pt] 2\cdot{}[2\cdot{}(1)^{2} -3\cdot{}(1)-2k]\ge{}0 \\[6pt] -1 \le{} -\dfrac{-3}{2\cdot{}2} \le{} 1 \rightarrow \forall{k}\in{}\mathbb{R}\end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} 9+16k \ge{} 0 \\[6pt] 2(-2k+5) \ge{}0 \\[6pt] 2(-2k-1)\ge{}0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} k \ge{} -\dfrac{9}{16} \\[6pt] -4\left(k -\dfrac{5}{2}\right)\ge{}0 \\[6pt] -4\left(k+\dfrac{1}{2}\right) \ge{} 0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} k \ge{} -\dfrac{9}{16} \\[6pt] 4\left(k -\dfrac{5}{2}\right)\le{}0 \\[6pt] 4\left(k+\dfrac{1}{2}\right) \le{} 0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} k \in{} \left[-\dfrac{9}{16}; +\infty\right) \\[6pt] k\in{} \left(-\infty; \dfrac{5}{2}\right]\\[6pt] k\in{} \left(-\infty; -\dfrac{1}{2} \right] \end{array} \\[6pt] k\in{}\left[-\dfrac{9}{16}; -\dfrac{1}{2}\right] \\[24pt]$ Проверете за грешки при пресмятанията и за занаците на неравенствата. $\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Условие корените $u_{1,2}$ на квадратен тричлен $au^{2}+bu+c$ да изпълняват неравенството $ p \le{}u_{1} \le{}u_{2} \le{} q$ e системата $$\begin{array}{|l} b^{2}-4ac \ge{}0 \\ a\cdot{}(ap^{2}+bp+c)\ge{}0 \\ a\cdot{}(aq^{2}+bq+c)\ge{}0 \\ p\le{} -\dfrac{b}{2a} \le{} q \end{array}$$, където $p$ и $q$ в нашия случай са съответно $-1$ и $1$.

[Гост]

Според условието k трябва да бъде цяло число

[ammornil]

Според условието k трябва да бъде цяло число

Да. Благодаря! Вероятно имам грешка някъде, защото в получния интервал няма цели числа. За съжаление не мога в момента да проверя къде съм сгрешил. Това е метода, проверете сметките.

[ammornil]

Може би нещо греша в анализа за разположението на корените на положеното уравнение. Ако погледнем изследване на равенството $2u^{2}-3u=2k, u \in{}[-1;1]$ по страни, където $f(u)= 2u^{2}-3u, \quad g(u)=2k \\[12pt] f(u)_{min}=f\left(-\dfrac{b}{2\cdot{}a}\right)= f\left(\dfrac{3}{4}\right)= 2\cdot{}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}-3\cdot{}\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{9}{8}-\dfrac{9}{4}= -\dfrac{9}{8}\\[6pt] f(u)_{max}= max(f(-1), f(1)) \begin{cases} f(-1)= 2-3= -1 \\ f(1)= 2+3= 5 \end{cases} \Rightarrow f(u)_{max}=5 \\[6pt] u\in[-1;1] \Rightarrow f(u) \in{}\left[-\dfrac{9}{8};5\right] \Rightarrow g(u) \in{}\left[-\dfrac{9}{8};5\right] \Rightarrow k \in{}\left[-\dfrac{9}{16};\dfrac{5}{2}\right]\\[6pt]$ Целите числа в този интервал са $0, 1, 2$